1、第四课三角恒等变换思维导图构建网络考点整合素养提升题组训练一同角三角函数关系式的应用1.(1)(2020长沙高一检测)已知cos =,则tan 等于()A.-2B.2C.-D.(2)已知sin +cos =,则sin -cos 的值为()A.-B.C.D.-(3)(2020成都高一检测)已知=1,则的值是()A.1B.2C.3D.6【解析】(1)选A.因为,所以sin =-=-,因此tan =-2.(2)选A.因为sin +cos =,所以(sin +cos )2=sin2+cos2+2sin cos =1+2sin cos = ,所以2sin cos =,又因为0,所以0sin cos ,所
2、以sin -cos 0,所以(sin -cos )2=sin2+cos2-2sin cos =1-2sin cos =,则sin -cos =-.(3)选A.因为=tan=1,所以=1.2.(2020锡林郭勒高一检测)化简.【解析】原式=-1.1.利用同角关系式求值的常见题型及方法(1)已知一个角的某一三角函数值求它的其余三角函数值.主要是利用公式sin 2+cos 2=1,tan =求解,解题时要注意角所在的象限.(2)sin +cos ,sin -cos ,sin cos 三个关系式,可“知一求二”,主要是利用(sin cos )2=12sin cos 来实现.(3)已知tan 的值,求关
3、于sin ,cos 的n次齐次式的值.通常是分子、分母同除以cos 的n次幂,化为关于tan 的式子,代入计算即可.2.同角三角关系式的化简与证明的基本方法(1)化简三角函数式时,应合理利用同角三角函数关系式及关系式的逆用.化简的基本要求:尽量减少角的个数;尽量减少三角函数的种数;尽量降低次数;尽量化同角、同名三角函数;能开方的尽量开方;分母不含根号;能求出值的尽量求出值.(2)证明恒等式的原则是由繁到简.常用的方法:从一边开始证得它等于另一边;证明左右两边都等于同一个式子;变更论证,即通过化除为乘、左右相减等,转化成证明与原结论等价的式子.题组训练二两角和与差的三角函数公式的应用1.(1)(
4、2020洛阳高一检测)已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,将角的终边按顺时针方向旋转后经过点(-3,4),则cos =()A.B.C.D.-(2)已知0,-0,sin =,cos =,则sin的值是()A.B.C.-D.-【解析】(1)选D.因为将角的终边按顺时针方向旋转后得到的角为-,由三角函数的定义可得cos =-,sin=,所以cos =cos=coscos-sin sin =-=-.(2)选C.因为0,-0,sin =,cos =,所以cos =,sin =-=-,因此sin(+)=sin cos +cos sin =+=-.2.已知tan 和tan是方程ax2+bx+c
5、=0的两个根,则a,b,c的关系是()A.b=a+cB.2b=a+cC.c=b+aD.c=ab【解析】选C.tan +tan=-,tan tan=,所以tan=tan=1,所以-=1-,所以-b=a-c,所以c=a+b.和差角公式的应用技巧(1)要注意公式的正用、逆用及变形应用,尤其是公式的逆用,要求能正确地找出所给式子与公式左右的异同,并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、凑角的技巧,将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式.(3)注意常值代换:用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能运用相关公式,特别是“1”的代换,如1=sin2+cos2,1=sin 90,=cos 60,=si
6、n 60等,再如:0,等均可视为某个特殊角的三角函数值,从而将常数换为三角函数使用.题组训练三积化和差与和差化积公式1.在ABC中,=,则ABC一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选A.由正弦定理变式:=,化简可得sin B-sin A=cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A),由和差化积公式及二倍角公式得2cossin=2sincos ,移项因式分解可得sin=0,由于括号内式子不等于0,所以,sin =0,所以A=B,即三角形为等腰三角形.2.(2020浦东高一检测)求下列各式的值:(1)已知cos(-)=-,cos(+)=,求co
7、s cos ,sin sin 的值;(2)求的值;【解析】(1)cos cos =-,sin sin =-=-=-.(2)原式=tan60=.积化和差与和差化积公式的应用技巧(1)和差化积公式必须是一次同名三角函数方可施行.若是异名,则必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,则必须用降幂公式降为一次.(2)选用公式应从以下几个方面考虑:运用公式之后,能否出现特殊角;运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否并项或消项;运用公式之后,能否使三角函数式结构更加简单,各种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条件.(3)把某些常数当作三角函数值应用公式.题组训练四二倍角公式与半角公式1.(2
8、020郑州高一检测)已知,2sin 2=1-cos 2,则tan=()A.-B.C.D.-【解析】选D.由2sin 2=1-cos 2,得4sin cos =2sin2,因为,所以sin 0,cos 0,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,联立解得所以tan=-.2.(2020南京高二检测)已知函数f(x)=2sin xcos+sin xcos x+cos2x.(1)求f(x)的振幅、最小正周期和初相位;(2)将f(x)的图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,当x时,求g(x)的取值范围.【解析】(1)f(x)=2sin xcos+sin xcos x+cos2x=2
9、sin x+sin xcos x+cos2x=2sin xcos x+cos2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=2sin,因此函数f(x)的振幅为2,最小正周期为T=,初相位为.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=f=2sin =2sin=-2cos 2x,当x时,-2x,-cos 2x1,所以-2g(x)1,因此当x时,g(x)的取值范围是.半角、倍角公式的应用技巧(1)对公式进行灵活应用,正用、逆用、变形应用都要准确熟练.如公式的逆用:2sin xcos x=sin 2x,sin xcos x=sin 2x,cos2x-sin2x=cos 2x,=tan 2,再如变形应用cos2x=,sin2x=(降幂公式),1+cos 2x=2cos2x,1-cos 2x=2sin2x(升幂公式).(2)二倍角余弦公式有三种形式,在应用时要注意选择合适的形式.如1+cos 2x1+2cos2x-1,1-cos 2x1-(1-2sin2x),等.