1、双曲线的标准方程和性质一、单选题1双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线垂直可求，进而可求双曲线的离心率.【详解】由题意可知，因为双曲线的渐近线为，且一条渐近线与直线垂直，所以，即；此时双曲线为，,离心率为.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的离心率求解主要是明确的关系式，或者的值，侧重考查数学运算的核心素养.2动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是A双曲线B双曲线的一支C一条射线D两条射线【答案】C试题分析：根据题意可假设，即，两边同时平方并化简整理得，再进行一次平方并化简整理得，即点在横轴上，但是，所以
2、点只能是横轴的右侧的一部分，即一条射线，端点为所以本题的正确选项为C考点：求动点的轨迹【易错点睛】在解答本题时，很容易直接利用双曲线的定义：到两定点的距离之差为定值的动点的轨迹，直接得出轨迹为双曲线的一支；但是当距离之差等于两定点的距离时，动点的轨迹不再是曲线，因为当动点与两定点不在一条直线上时，三点可围成三角形，根据三角形三边关系可知，两距离之差始终小与这个定值，也就是说三点式共线的，且是一条射线3设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为A4BCD【答案】A【分析】直接利用双曲线的定义分析解答得解.【详解】由题得.由双曲线的定义可知到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值.故
3、选A【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4已知点是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值ABCD【答案】B【分析】设的内切圆半径为，利用三角形的面积公式结合双曲线的定义可求得的值.【详解】设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，因为，即，可得.故选：B二、填空题5双曲线上一点A到点（5,0）的距离为15，则点A到点（5,0）的距离为_.【答案】7或23【分析】根据双曲线的标准方程，写出实轴的长和焦点的坐标，根据双曲线的定义，得到两个关于要求的线段的长的式子，得到结果【详解】双曲线，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上， ，点到点的距离为
4、，则点到点是或，故答案为或.【点睛】本题考查双曲线的定义，是一个基础题，解题的关键是注意有两种情况，因为这里是差的绝对值是一个定值，不要忽略绝对值6与椭圆有两个相同的焦点,且经过点的双曲线的标准方程是_.【答案】【分析】先根据椭圆方程求出双曲线的焦点坐标,再根据双曲线的定义可求出实轴长,最后根据实轴长、虚轴长、焦距的关系,求出虚轴长,最后求出双曲线的方程.【详解】椭圆的焦点坐标为,设双曲线标准方程为,由题意可知双曲线的焦点坐标为,由双曲线定义可知：,而,所以双曲线方程为：.故答案为：【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程,考查了双曲线的定义,考查了数学运算能力.7已知点和，动点满足，则的轨迹方程
5、是_.【答案】【分析】根据双曲线的定义，判断出点的轨迹为双曲线的一支，由此求得点的轨迹方程.【详解】由于为定点，且，所以点的轨迹为双曲线的右支.由得，所以点的轨迹方程为.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查动点的轨迹方程的求法，属于基础题.8（2020上海市控江中学高二期末）焦点为与的等轴双曲线的方程为_.【答案】【分析】设所求双曲线的方程为，根据该双曲线的焦点坐标求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在轴上，可设所求双曲线的方程为，则，解得，因此，所求等轴双曲线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，解题的时要注意焦点位置，考查计算能力，
6、属于基础题.9如果双曲线右支上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点到轴的距离是_【答案】【分析】由题意可知点为双曲线的右顶点，由此可求得点到轴的距离.【详解】在双曲线中，所以，双曲线的右焦点为，而双曲线的右顶点到的距离为，则，因此，点到轴的距离是.故答案为：.10若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程为_【答案】【分析】根据渐近线方程以及交点坐标特点，简单计算可知结果.【详解】由题可知：双曲线焦点为，故可知双曲线焦点在轴上由双曲线渐近线方程为，故假设双曲线方程为所以，即所以双曲线方程为：故答案为：11已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为_.【答案】【分析】根据椭圆与
7、双曲线的焦点相同，由求解.【详解】因为椭圆与双曲线的焦点相同，所以，即，解得，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为：12双曲线上任意点到它的两条渐近线距离的乘积为定值，_【答案】【分析】依题意得渐近线方程为，取双曲线上一点，求点到两条渐近线的距离再计算乘积即可【详解】双曲线的渐近线方程为与取双曲线上一点，则点到两条渐近线的距离均为所以故答案为：三、解答题13已知双曲线的两个焦点与椭圆的两个焦点相同,且的一条渐近线为求的标准方程.【答案】【分析】设双曲线方程为：，计算椭圆焦点，代入双曲线计算得到答案.【详解】的一条渐近线为，设双曲线方程为： 椭圆的两个焦点为 故， 双曲线方程为：【点睛】本题考查了
8、双曲线，椭圆，设双曲线方程为可以简化运算，是解题的关键.14已知双曲线C过点，且渐近线方程为，直线l与C交于M、N两点，（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l过原点，点P是曲线C上任一点，直线PM、PN的斜率都存在，记为、，求证：为定值；（3）若直线l过点，在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出点Q坐标及此常数的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在， .【分析】（1）设双曲线的方程为，将点代入双曲线的方程，解方程可得双曲线的方程；（2）设点的坐标为，则点的坐标为，根据斜率公式和双曲线的方程，即可求出为定值；（3）假设存在定点，用点斜式设出直线的方程代入
9、双曲线方程，利用根与系数的关系以及为常数，求得值，可得结论【详解】解：（1）由双曲线的渐近线方程，可设双曲线的方程为，又双曲线过点，可得，即，则双曲线的方程为；（2）证明：设点的坐标为，则点的坐标为，其中，又设点的坐标为，由，得，将，代入得故为定值；（3）设直线的方程为，设定点，联立方程组，消可得，则，且，解得且，设，可得，所以，所以，为常数，与无关所以，解得，此时故存在，使得【点睛】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积
10、等问题15已知双曲线的焦距为，且过点.（1）求证：双曲线C的标准方程为；（2）过点，斜率为k的直线l与双曲线C相交于A、B两点，且，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）3或.【分析】（1）根据焦距以及点的坐标求解出方程中的值，由此证明出双曲线C的标准方程为；（2）设出直线的方程，然后联立直线方程与双曲线方程，结合弦长公式利用表示出，由此求解出的值.【详解】（1）证明：由题意可知：，解得，所以双曲线C的标准方程为；（2）设直线的方程为，所以，所以，所以，且，即，又因为，化简可得：，所以，解得或，均符合，所以等于或.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于灵活运用韦达定理以及弦长公式进行化简计算，同时在计算最后要注意验证结果是否满足这一条件.