1、习题课（三） 平面向量1.如图所示，在ABC中，设a，b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则()A.abB.abC.ab D.ab解析：选C连接BP，则b，a.由，得2ab.又()，将代入，得2ab，解得ab.2已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|ab|()A0 B1C2 D.解析：选D因为|ab|2a22abb210225，所以|ab|，故选D.3若平面向量a(1,2)与b的夹角是180，且|b|3，则b的坐标为()A(3，6) B(3,6)C(6，3) D(6,3)解析：选A由题意设ba(，2)(0)，而|b|3，则3，所以3，b(3，6)4已知平面向量a，
2、b满足|ab|1，|ab|x，abx，则x()A. B2C. D3解析：选B|ab|2a22abb21，|ab|2a22abb2x2，两式相减得4ab1x2.又abx，所以1x2x，解得x2或x(舍去)故选B.5在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选C由()|2，得()0，即()0，20，A90.故选C.6已知平面向量a，b，c满足|a|1，|b|2，|c|3，且a，b，c两两所成的角相等，则|abc|等于()A6或 B6或C. D6解析：选Aa，b，c两两所成的角相等，这个角为0或120.当夹角为0时，|abc|a|b|
3、c|1236，排除C；当夹角为120时，ab|a|b|cos 120121，bc|b|c|cos 120233，ca|c|a|cos 12031，|abc|2a2b2c22(abbcca)12223223，|abc|.|abc|6或.7设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.解析：|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，ab0.又a(m,1)，b(1,2)，m20，m2.答案：28(2016全国卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.解析：a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430.m6.答案：69已知向量(1,7)，(5,1)(O为
4、坐标原点)，设M为直线yx上的一点，那么的最小值是_解析：设M，则，(1x)(5x)(x4)28.所以当x4时， 取得最小值8.答案：810已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|.解：(1)(2a3b)(2ab)61，4a24ab3b261， 即644ab2761.ab6.cos ，120.(2)|ab|.11已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，a与b满足|kab|akb|，其中k0.(1)用k表示ab；(2)求ab的最小值，并求出此时a，b的夹角解：(1)将|kab|akb|两边平方，得|kab|2(|akb|)2，k2
5、a2b22kab3(a2k2b22kab)，8kab(3k2)a2(3k21)b2，ab.a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，a21，b21，ab.(2)k212k(当且仅当k1时等号成立)，即，ab的最小值为.设a，b的夹角为，则ab|a|b|cos .又|a|b|1，11cos ，60，即当ab取最小值时，a与b的夹角为60.12已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们两两之间的夹角均为120.(1)求证：(ab)c；(2)若|kabc|1(kR)，求实数k的取值范围解：(1)证明：|a|b|c|1，且a，b，c之间的夹角均为120，(ab)cacbc|a|c|cos 120|b|c|cos 1200，(ab)c.(2)|kabc|1，(kabc)21，即k2a2b2c22kab2kac2bc1，k2112kcos 1202kcos 1202cos 1201.k22k0，解得k2.实数k的取值范围为(，0)(2，)