1、阶段总结热考题型强化课(六)算法、统计与概率【网络构建】【核心要素】1.程序框图、算法的三种基本逻辑结构、算法语句 2.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样 3.样本的频率分布表、频率分布直方图、茎叶图 4.样本的中位数、众数、平均数、方差、标准差 5.回归直线方程、独立性检验的一般步骤与计算公式 6.事件间的互斥、对立关系,事件间的并、交运算 7.频率与概率的关系 8.随机事件概率的特征与计算 9.古典概型的特征与计算公式 10.几何概型的特征与计算公式 热考题型一 算法【考情分析】难度:基础题题型:以选择题、填空题为主考查方式:以程序框图的读与补为主要考查对象,常与函数、不等式、数列、样本数据
2、的数字特征等知识交汇命题【考题集训】1.(2014天津高考)阅读如图所示 的程序框图,运行相应的程序,输出 S的值为()A.15 B.105 C.245 D.945【解析】选B.i=1时,T=3,S=3;i=2时,T=5,S=15;i=3时,T=7,S=105,i=4输出S=105.2.(2014四川高考)执行如图的程序框图,如果输入的x,yR,那么输出的S的最大值为()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.方法一:程序框图的实质是若x0,y0,x+y1,则S=2x+y;否则,S=1.当x0,y0,x+y1时,0y1-x,得0 x1,从而02x+y2,即当x=1,y=0时,Smax=21
3、+0=2.方法二:程序框图的实质是若x0,y0,x+y1,则S=2x+y;否则,S=1.当 时,如图,由线性规划可知,当x=1,y=0时,Smax=21+0=2.x0,y0,xy1 3.(2013重庆高考)执行如图所示的程序 框图,如果输出s=3,那么判断框内应填入 的条件是()A.k6 B.k7 C.k8 D.k9【解析】选B.第一次执行循环体后,s=log23,k=3,第二次执行循环体后,s=log24,k=4,第三次执行循环体后,s=log25,k=5,第四次执行循环体后,s=log26,k=6,第五次执行循环体后,s=log27,k=7,第六次执行循环体后,s=log28=3,k=8,
4、结束循环.故选B.4.(2014山东高考)执行下面的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为 .【解析】根据判断条件x2-4x+30,得1x3,输入x=1,第一次判断后循环,x=x+1=2,n=n+1=1,第二次判断后循环,x=x+1=3,n=n+1=2,第三次判断后循环,x=x+1=4,n=n+1=3,第四次判断不满足条件,退出循环,输出n=3.答案:3 5.(2014湖北高考)设a是一个各位数字 都不是0且没有重复数字的三位数.将组成 a的3个数字按从小到大排成的三位数记为 I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851).阅读如图
5、所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b=.【解析】当a=123时,b=321-123=198123;当a=198时,b=981-189=792198;当a=792时,b=972-279=693792;当a=693时,b=963-369=594693;当a=594时,b=954-459=495594;当a=495时,b=954-459=495=a,终止循环,故输出b=495.答案:495 热考题型二 统计【考情分析】难度:基础题 题型:以选择题为主,填空题、解答题为辅考查方式:以随机抽样、用样本的频率分布、数字特征估计总体为主要考查对象,常与统计案例、概率等知识交汇命题【考
6、题集训】1.(2014广东高考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是()A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10【解析】选A.样本容量为100002%=200,抽取的高中生近视人数为20002%50%=20.2.(2014山东高考)为研究某药品的疗效,选取若干名 志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一
7、组,第二组,第五组.如图是根据试验数据制成的 频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为()A.1 B.8 C.12 D.18【解析】选C.由图知,样本总数为N 设第三组中有疗效的人数为x,则 =0.36,解得x=12.2050.0.160.246x503.(2013重庆高考)如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为()A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8【解析】选C.因为甲组数据的中位数为15,所以易知x=5,又乙组数据
8、的平均数为16.8,所以 =16.8,解得y=8.故选C.9 15 18 10y2454.(2013江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次甲8791908993乙8990918892【解析】故 答案:2 8791 908993x90,5甲899091 8892x90,5乙222222(8790)(91 90)(9090)(8990)(93 90)s4,5甲222222(8990)(9090)(91 90)(8890)(9290)s2.5乙5.(2014全国卷
9、)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组.75,85)85,95)95,105)105,115)115,125)频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图:(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?【解析】(1)(2)质量指标值的样本平均数为:=800.06+900.26+1000.38+1100.22+120 0.08=100.质量指标值的样本方
10、差为:s2=(-20)20.06+(-10)20.26+00.38+1020.22+2020.08=104.x(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.热考题型三 统计案例【考情分析】难度:基础题低、中档题题型:以解答题为主考查方式:主要考查回归直线方程的应用、独立性检验及对表格中数据进行处理的能力,常与统计等知识综合命题【考题集训】1.(2014全国卷)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
11、年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程.(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别 为:niii 1n2ii 1(tt)(yy)baybt.(tt)，【解析】(1)因为 设回归方程为 代入公式,经计算得 所以y关于t的回归方程为y=t+2.3.1 234567t4,7 2.93.33.64.44.85.25.
12、9y4.3,7ybta,4.220.700.5 1.84.8141b,(94 1)214 221aybt4.342.3,212(2)因为 0,所以2007年至2013年该地区人均纯 收入稳步增长,预计到2015年,该地区人均纯收入y=9+2.3=6.8(千元),所以预计到2015年,该地区人均纯收入约6800元.1b2122.(2014安徽高考)某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据
13、,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:0,2,(2,4,(4,6,(6,8,(8,10,(10,12.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有95%的把握(在犯错误的概率不超过0.05的前提下)认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【解析】(1)300 =90,所以应收集90位女生的样 本数据.(2)由频率分布直方图得2(0.150+0.125+0.075+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运
14、动时间超过4小时的概率 的估计值为0.75.4 50015 000(3)由(2)知,300位学生中有3000.75=225人的每周平均体育运动时间超过4个小时.75人的每周平均体育运动时间不超过4个小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下:平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间 不超过4个小时 45 30 75 每周平均体育运动时间 超过4个小时 165 60 225 总计 210 90 300 结合列联表可算得K2的观测值 k=4.7623.841.有95%的把握(在犯错误的概率不超过0.05的
15、前提下)认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.2300 2 25010075 225 210 9021热考题型四 概率【考情分析】难度:基础题题型:以选择题、填空题为主考查方式:以随机事件的概率、古典概型、几何概型为主要考查对象,常与函数、方程、不等式、线性规划、平面几何、解析几何等知识交汇命题【考题集训】1.(2014江西高考)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于()1111A.B.C.D.189612【解析】选B.掷两颗骰子包含的所有结果为36种,点数 之和为5所包含的结果为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4 种,故所求概率为 .192.(2013湖南高考
16、)已知事件“在矩形ABCD的边CD上 随机取一点P,使APB的最大边是AB”发生的概率为 ,则 =()12ADAB1137A.B.C.D.2424【解析】选D.如图,在矩形ABCD中,以B,A为圆心,以AB 为半径作圆交CD分别于点E,F,当点P在线段EF上运动时 满足题设要求,所以E,F为CD的四等分点,设AB=4,则 DF=3,AF=AB=4,在直角三角形ADF中,22ADAFDF7，AD7.AB4所以3.(2014重庆高考)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:307:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 .(用
17、数字作答)【解析】设小张与小王到校的时刻分 别为7:30之后x,y分钟,则由题意知小 张比小王至少早5分钟到校需满足y-x 5,其中0 x20,0y20.所有的 基本事件构成的区域为一个边长为20 的正方形,随机事件“小张比小王至少 早5分钟到校”构成的区域为阴影部分.由几何概型的概率公式可知,其概率为 答案:1 15 1592P.20 20329324.(2014全国卷)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为 .【解析】设数学书为A,B,语文书为C,则不同的排法共 有(A,B,C),(A,C,B),(B,C,A),(B,A,C),(C,A,B),(C,B
18、,A)共6种排列方法,其中2本数学书相邻的情况有 4种,故所求概率为 答案:42P.63235.(2014山东高考)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示,工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A,B,C各地区样品的数量.(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.【解析】(1)因为工作人员是按分层抽样抽取商品,所以各地区抽取商品比例为:ABC=50150100=132,所以各地区抽取商品数为 13A:
19、61B:6366，2C:62.6(2)设各地区商品分别为A,B1,B2,B3,C1,C2,设M表示“这2件商品来自相同的地区”.基本事件空间为:(A,B1),(A,B2),(A,B3),(A,C1),(A,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共15个.样本事件空间为:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),(C1,C2),共4个.所以这2件商品来自同一地区的概率为P(M)=4.15热考题型五 概率与统计及统计案例的综合【考情分析】难度:低中档题型:以解答题
20、为主考查方式:常以统计图表为载体,考查随机抽样、用样本频率分布估计总体、样本的数字特征、回归分析、独立性检验及概率的计算问题【考题集训】1.(2014全国卷)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表示市民的评价越高),绘制茎叶图如下:(1)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数.(2)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分小于90的概率.(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.【解析】(1)两组数字是有序排列的,50个数的中位数 为第25,26两个数的平均数.由给出的数据可知道,市民 对甲部门评分的中位数为 =75,对
21、乙部门评分的中 位数为 =67,所以市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为75,67.7575266682(2)甲部门评分数大于等于90的共有6个、乙部门评分 数大于等于90的共有9个.因此,估计市民对甲、乙部门 的评分大于等于90的概率分别为P甲=0.12,P乙=0.18.所以市民对甲、乙部门的评分小于90的概率分别为 0.88,0.82.650950(3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大.2.(2014
22、辽宁高考)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)根据表中数据,问是否有95%的把握(在犯错误的概率不超过0.05的前提下)认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.【解析】(1)由22列联表中的数据,得K2=4.762,由于4.7623.841,所以有95%的把握(在犯错误的概率不超过0.05的前提下)认为“南方学生
23、和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.2100(60 1020 10)10080 20 70 3021(2)从5名数学系学生中抽取3人的一切可能结果所组成的基本事件为下列10个:(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3),其中ai(i=1,2)表示喜欢甜品的学生,bj(j=1,2,3)表示不喜欢甜品的学生,这10个基本事件的出现是等可能的.抽取3人,至多有1人喜欢甜品的事件为以下7个:(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3),从这5名学生中随机抽取3人,至多有1人喜欢甜品的 概率为 .710