1、第一部分 高考专题讲解 专题四 三角函数、解三角形、平面向量第十一讲 三角变换与解三角形、平面向量1.三角恒等变换与解三角形是近几年高考的热点内容，通常考查利用三角恒等变换的知识进行化简、求值、证明及解三角形，也考查基本的三角变换思想，如切化弦、角的变换及边角转换等在本部分内容中两角和与差的正弦、余弦和正切要求掌握，故这部分内容及与其考情分析相关的内容要予以高度重视，它们将是今后高考命题的热点；同时将解三角形的知识与实际问题结合起来，也将是今后命题的一个热点，复习时要给予重视考情分析2平面向量在高考中的考查内容主要集中在三个方面：一是向量的基本概念，二是向量的坐标运算，三是向量的数量积，其中向
2、量的数量积及其应用是考查的重点内容从试题形式上看主要以小题为主，一般为12题，同时平面向量具有几何与代数形式的“双重考情分析性”，是中学数学知识网络的重要交汇点，它与三角函数、解析几何、平面几何都可以整合在一起，在高考中以解答题为主，要予以高度重视考情分析要点串讲1.三角函数的恒等变换的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，再利用三角恒等变换使异角化同角，异名化同名，高次化低次等2三角函数恒等变换的基本策略：(1)常值代换特别是用“1”的代换如 1cos2sin2tan45等(2)项的分拆与角的配凑如分拆项：sin2x2cos2x(sin2xcos2x)cos2x1cos2x；配凑
3、角：()，2 2 等(3)降次与升次即倍角公式降次与半角公式升次(4)化弦(切)法将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)(5)引入辅助角asinbcosa2b2sin()，这里辅助角 所在的象限由 a、b 的符号确定，角 的值由 tanba确定3三角函数公式的应用是考查的重点，应用三角函数公式求值、化简及证明恒等式是主要的考查方式在熟记三角公式的同时，还要会灵活变换公式并加以应用如两角和的正切公式 tan()tantan1tantan与 tantantan()(1tantan)的转化；正(余)弦倍角公式与半角公式的转化等4解三角形的一般思维方法是：(1)已知两角和一边(如 A、B、c)
4、，由 ABC 求C，由正弦定理求 a、b.(2)已知两边和夹角(如 a、b、C)，应用余弦定理求 c；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 ABC，求另一角(3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A)，应用正弦定理求 B，由 ABC 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边 a、b、c，可应用余弦定理求 A、B、C.5在向量的线性运算中，要能善于应用向量加减法的几何意义解决几何问题，此时一般需要构造三角形或平行四边形使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”6若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)ab(b0)ab(R)x1y2x2y10；(2
5、)ab(a、b0)ab0 x1x2y1y20.7向量的坐标表示实际上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后，使向量运算完全代数化，将向量运算转化为代数运算，实现了数与形的紧密结合8ab|a|b|cosa，bx1x2y1y2.注：(1)|a|cosa，b叫做 a 在 b 方向上的投影，|b|cosa，b叫做 b 在 a 方向上的投影(2)ab 的几何意义：ab 等于|a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cosa，b的乘积(3)向量的夹角：coscosa，b ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.(4)三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线OP xOA yOB(xy1)9三
6、角形的几个心与向量的联系：(1)PG 13(PAPB PC)G 为ABC 的重心，特别地，PAPB PC 0P 为ABC 的重心；(2)PAPB PB PC PC PAP 为ABC 的垂心；(3)|OA|2|BC|2|OB|2|AC|2|OC|2|AB|2点 O是ABC 的垂心.高频考点类型一 利用三角变换化简或证明三角恒等式【例 1】(2011江苏洪泽中学模拟)已知 sin(2)2sin，求证：tan()3tan.证明 由 sin(2)2sin，得 sin()2sin()，即 sin()coscos()sin2sin()cos2cos()sin，整理得 sin()cos3cos()sin，两
7、边都除以 cos()cos，即得 tan()3tan.点评 三角函数的化简和证明等问题首先要考虑条件和结论中角的关系及差异，注意到本题中 2()，()，故可以将已知条件中的角进行合理拆分，再利用公式展开变换即可类型二 三角函数式的求值【例 2】已知 cos4x 35，1712 x74，求sin2x2sin2x1tanx的值分析 将所求函数式变形以便应用已知条件，即将所求与已知条件联系起来将倍角化为单角 切化弦 变形，应用已知条件求值解 1712 x74，53 4x0 时，恒有|OA|OB|.分析(1)由点 P 满足的条件列出等式，化简可得 C的方程；(2)由OA OB OA OB 0，这是解题
8、的突破口；(3)证明的关键是写出|OA|2|OB|2，再结合题设条件即可求证解(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 x2y24 1，ykx1，消去 y并整理，得(k24)x22kx30，故 x1x2 2kk24，x1x23k24.若OA OB，则 x1x2y1y20.而 y1y2k2x1x2k(x1x2)1，于是 x1x2y1y23k24 3k2k24 2k2k2410，化简得4k210，所以 k12.(3)证明：|OA|2|OB|2(x21y21)(x22y22)(x21x22)4(1x211x22)3(x1x2)(x1x2)6kx1x2k24.A 在第一象限，故 x10
9、.由 x1x23k24，知 x20.又 k0，故|OA|2|OB|20.即在题设条件下，恒有|OA|OB|.点评 向量与解析几何结合的综合题是高考命题的热点，解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化和条件的运用常见技巧有两个：一是以向量的运算为切入口；二是结合向量的几何意义及曲线的有关定义作转化.好方法好成绩1.已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况以已知 a，b，A 为例(1)当 A 为直角或钝角时，若 ab，则有一解；若 ab，则无解(2)当 A 为锐角时，如下表：absinAabsinAbsinAaBCabcsinAsinBsinC.(3)abcosCccosB.3在ABC 中，三边
10、分别为 a，b，c(abc2，则ABC 为锐角三角形(2)若 a2b2c2，则ABC 为直角三角形(3)若 a2b20 为锐角或零角ab090ab0 为钝角或平角7.利用数量积求向量的长度(或模)条件计算公式a(x，y)|a|a2 x2y2A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|x1x22y1y22 高考陪练1.(2011湖北)已知函数 f(x)3sinxcosx，xR，若 f(x)1，则 x 的取值范围为()A.x|k3xk，kZB.x|2k3x2k，kZC.x|k6xk56，kZD.x|2k6x2k56，kZ解析：f(x)2sinx6 1，即 sinx6 122k6x62k56，2k3x
11、2k，kZ.答案：B 2(2011浙江)若 02，20，cos4 13，cos42 33，则 cos2()A.33 B 33C.5 39D 69解析：02，204434 cos4 13sin4 2 23420 024 4421，1，112.选 D.答案：D 4(2011上海)设 A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的 5 个不同点，则使MA1 MA2 MA3 MA4 MA5 0成立的点 M 的个数为()A0 B1C5 D10解析：在平面直角坐标系内，设 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，A4(x4，y4)，A5(x5，y5)，M(x0，y0)MA1 MA2 MA5 0(x1x2x3x4x55x0，y1y2y3y4y55y00 x0 x1x2x3x4x55，y0y1y2y3y4y55A1，A2，A3，A4，A5 给定，x0，y0 固定，点M(x0，y0)只有一个答案：B 5(2011辽宁)ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinAsinBbcos2A 2a，则ba()A2 3B2 2C.3D.2解析：asinAsinBbcos2A 2a由正弦定理，sinAsinAsinBsinBcos2A 2sinA.sinB(sin2Acos2A)2sinAsinB 2sinA.basinBsinA 2.答案：D 高考专题训练十一