1、第一部分 高考专题讲解 专题四 三角函数、解三角形、平面向量第十讲 三角函数的图象与性质高考对三角函数这一部分的考查主要围绕三角函数的性质和图象展开，如两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，三角函数的图象变换(平移、伸缩)等，考查的形式既有小题也有大题，但一般难度不会太大，属于中、低档题，是考生得分的重点之一考情分析要点串讲1.三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，我们根据三角函数的图象可迅速把握三角函数的主要特征(对称中心、对称轴、单调性等)，因此我们应当熟练掌握三角函数的图象，从而熟记三角函数的性质2对于函数 ysinx 到函数 yAsin(x)(A0，0)的图象
2、变换，可先将 ysinx 的图象向左(0)或向右(1)或伸长(01)或缩短(0A1)到原来的 A 倍也可以先进行伸缩变换再进行平移变换，但此时平移不再是|个单位长度，而是|个单位长度，原则是保证 x 的系数为 1.3平移的时候还要注意变换的方向不能出错如：由函数 yAsinx 的图象平移得到函数 yAsin(x)的图象时，一般应将 x 化为 x 后，由 x来确定平移量和平移方向若0，则向左平移|个单位长度，简而言之为“左加右减”4用“五点法”作函数 yAsin(x)或 yAcos(x)的图象时，五点的横坐标总由 x 分别取0、2、32、2 来确定5求三角函数(包含三角函数的复合函数)的定义域实
3、际上就是解最简单的三角不等式(组)一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解列三角不等式时，要考虑完整，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零，偶次方根的被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于 1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数).高频考点类型一 三角函数图象的平移与伸缩变换【例 1】已知函数 f(x)2cosxsinx3 3sin2xsinxcosx2(xR)，该函数的图象可由 ysinx(xR)的图象经过怎样的变换得到？分析 本题在把函数化为 y2sin2x3 2 后，在图象变换上就会出现混淆平移方向上的错误，如在由 ysinx 的图象变换成 ysin
4、x3 的图象时，认为是向右平移，这样就会出现各种各样的错误结果 解 f(x)2cosx12sinx 32 cosx 3 sin2x sinxcosx22sinxcosx 3(cos2xsin2x)2sin2x 3cos2x22sin2x3 2.由 ysinx 的图象向左平移3个单位长度得到 ysinx3 的图象；再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得 ysin2x3 的图象；再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2 倍，得 y2sin2x3 的图象；最后将所得图象向上平移 2 个单位长度得 y2sin2x3 2 的图象【探究 1】(2011南通模拟)将函数 yf(x)图象上
5、所有点的纵坐标变为原来的 4 倍，横坐标变为原来的 2 倍，然后把所得图象上的所有点沿 x 轴向左平移2个单位长度，这样得到的曲线和函数 y2sinx 的图象相同，则函数 yf(x)的解析式为_解析：本题只需将函数 y2sinx 逆过来思考即可，即先将函数 y2sinx 图象上的所有点向右平移2个单位长度，再将纵坐标变为原来的14，横坐标变为原来的12即可答案：y12sin2x2类型二 三角函数的图象与解析式【例 2】如图为 yAsin(x)(0，|)的图象的一段，求其解析式分析 首先确定 A.若以 N 为五点作图法中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于 ysinx的图象)，所以
6、A0.而 2T，可由相位来确定由最值确定A 由周期确定 由特殊点确定 函数解析式解 解法一：以 N 为第一个零点，则 A 3，T256 3，2T，2，此时解析式为 y 3sin(2x)点 N(6，0)，6203，所求的解析式为 y 3sin2x3.解法二：以点 M3，0 为第一个零点，则 A 3，2T 2，此时解析式为 y 3sin(2x)，将点 M 的坐标代入得 23023，所求的解析式为 y 3sin2x23.点评(1)与是一致的，由可得，事实上 y 3sin2x3 3sin2x23 3sin2x23，同理由也可得.(2)已知函数的图象求函数 yAsin(x)(A0，0)的解析式时，常用的
7、解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 A，由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定，但由图象求得的 yAsin(x)(A0，0)的解析式一般不唯一，只有限定 的取值范围，才能得到唯一解，否则 的值不确定，解析式也就不唯一【探究 2】已知 f(x)absin2xccos2x 的图象经过点 A(0,1)，B4，1，且当 x0，4 时，f(x)的最大值为2 21.(1)求 f(x)的解析式；(2)是否存在向量 m，使得将 f(x)的图象按向量 m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个向量 m；若不存在，说明理由解：(1)由题意知ac1，ab1，解得 bc1a，f(x
8、)a 2(1a)sin2x4，x0，4，2x44，34，sin2x4 22，1.当 1a0 时，可得 a 2(1a)12 21，解得 a1；f(x)12 2sin2x4.(2)根据(1)考虑函数 g(x)2 2sin2x 是奇函数，只要能将函数的图象按向量 m 平移，变为 g(x)的图象即可，又2x42x8，将 g(x)的图象向左平移8个单位，再将所得到的函数图象向下平移 1 个单位就可以得到原函数的图象将函数 f(x)的图象向右平移8个单位，再将所得到的函数的图象向上平移 1 个单位就可以得到奇函数 g(x)2 2sin2x 的图象，故 m8，1.类型三 三角函数的单调性、奇偶性、周期性【例
9、 3】已知函数 f(x)3sin(x)cos(x)(00)为偶函数，且函数 yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2.(1)求 f8 的值；(2)将函数 yf(x)的图象向右平移6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求函数 g(x)的单调递减区间解(1)f(x)3sin(x)cos(x)232 sinx12cosx2sinx6.因为 f(x)为偶函数，所以对 xR，f(x)f(x)恒成立，因此 sinx6 sinx6.即sinxcos6 cosxsin6sinxcos6 cosxsin6，整理得 sinxcos6 0.因为 0
10、，且 xR，所以 cos6 0.又因为 00，0)的图象求解析式(1)Aymaxymin2，Bymaxymin2.(2)由函数的周期 T 求，2T.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求.4函数 yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点5求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为 yAsin(x)B 的形式，进而结合三角函数的性质求解(2)将三角函数式化为关于 sinx，cosx 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.高考陪练1.(2011山东)若函数 f(x)sinx(0)在区间0，3上单调递增，在区间3，2 上单调递减，则()A3 B2 C.32 D.23解析：f(
11、x)sinx 在0，3 上单调递增，在3，2 上单调递减，当 x3时，取最大值32，32.选 C.答案：C 2(2011安徽)已知函数 f(x)sin(2x)，其中 为实数，若 f(x)f6 对 xR 恒成立，且 f2 f()，则 f(x)的单调递增区间是()A.k3，k6(kZ)B.k，k2(kZ)C.k6，k23(kZ)D.k2，k(kZ)解析：由已知得f6 1，|sin|sin.即sin3 1，sin0.令0)，将 yf(x)的图象向右平移3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于()A.13B3C6 D9解析：f(x)向右平移3后变为 fx3，则 f(x)fx3，cosx
12、cosx3即 cosxcosx3，3 2k，kZ.6k，kZ，的最小值为 6.答案：C 4(2011课标)设函数 f(x)sin(x)cos(x)0，|2 的最小正周期为，且 f(x)f(x)，则()Af(x)在0，2 单调递减Bf(x)在4，34 单调递减Cf(x)在0，2 单调递增Df(x)在4，34 单调递增解析：f(x)2sinx4.周期 T，2.又 f(x)f(x)，即函数为偶函数，4k2，kZ.k4，又|2，4.f(x)2sin2x2 2cos2x.验证可知选 A.答案：A 5(2011山东)函数 yx22sinx 的图象大致是()解析：yx22sinx，x 越来越大时 y，排除 D.又 yx22sinx 是奇函数，排除 A.y122cosx，令 y0，cosx14，x 取值不唯一有多个极值点，排除 B，选 C.答案：C 高考专题训练十