1、规范答题必考大题突破课(四)立体几何【热点标签】1.题型:解答题 2.分值:12分 3.难度:中档 【热点题型】题型一:线面位置关系与体积计算:线、面的平行与垂直关系是考查的热点内容,通过空间几何体的体积计算,考查学生的空间想象能力 题型二:线面位置关系中的探索性问题:是否存在某点或某参数,使得某种线、面位置关系成立问题,是近几年高考命题的热点 题型一 线面位置关系与体积计算【真题示例】(12分)(2015全国卷)如图,四边形ABCD为菱形,点G为AC与BD的交点,BE平面ABCD,(1)证明：平面AEC平面BED.(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为 ,求该三棱锥的侧面
2、积.63【信息解读】(1)看到 四边形ABCD是菱形,想到 对角线互相垂直.(2)看到 三棱锥的体积,想到 三棱锥的高与底面积.【标准答案】(1)因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE,2分得分点 又BDBE=B,故AC平面BED.又AC 平面AEC,所以平面AEC平面BED.2分得分点(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=x,GB=GD=.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=x.2分得分点 由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=x.1分得分点 32x23222由已知得,三棱锥E-ACD的体积 故x=2.
3、2分得分点 从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3,EAD的 面积与ECD的面积均为 .故三棱锥E-ACD的侧面积 为3+2 .3分得分点 E ACD11VAC GD BE32655366x.243【得分细则答题规则】第(1)问踩点说明(针对得分点):得分点有两处:一是用了菱形的对角线互相垂直,可得1分;二是根据线面垂直的性质得到线线垂直得1分.得分点有两处:一是得到线面垂直得1分;二是得到面面垂直得1分.第(2)问踩点说明(针对得分点):得分点有两处:一是计算AG,GC,GB,GD的长度得1分,二是求EG的长得1分.求BE的长度得1分.根据三棱锥的体积求x值得2分.得分点有两处:一
4、是计算AE,EC,ED的长度得1分;二是求三个侧面的面积得2分.答题规则1:写全解题步骤,步步为“赢”在书写解题过程时,对于得分点的解题步骤一定要写全,阅卷时根据得分点评分,有则得分,无则不得分,如本题中计算三棱锥的体积时,需要求出底面边长及高,因此各得分点之间环环相扣,缺了哪一个环节都计算不出来,没有某个环节,就会失分.答题规则2:准确熟练地计算 正确的计算结果是得分的关键,本题在求三棱锥的体积与侧面积时,需要计算的量较多,应根据最后结果的需要,把每一个需要计算的量都求出来,并写出相应的步骤,即可得分.【跟踪训练】(2015广州模拟)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1平面ABC,A
5、BC为等边三角形,侧面AA1C1C是正方 形,点E是A1B的中点,点F是棱CC1上的点.3(1)若点F是棱CC1的中点,求证:AE平面A1FB.(2)当VE-ABF=9 时,求正方形AA1C1C的边长.【解析】(1)取AB的中点为M,连接EM,CM,因为点E是A1B的中点,点F是棱CC1的中点,所以EMAA1,EM=AA1,FCAA1,FC=AA1,所以EM FC AA1.则四边形EMCF是平行四边形,所以EFCM.121212又因为ABC为正三角形,侧面AA1C1C是正方形.所以AA1=AB,CMAB,所以AEA1B,因为侧棱AA1平面ABC,所以CMAA1,所以CM平面A1AB,所以EF平
6、面A1AB,所以EFAE,又因为AEA1B,A1BEF=E,所以AE平面A1FB.(2)设正方形AA1C1C的边长为x,由于点E是A1B的中点,所以EAB的面积为定值,因为CC1平面AA1B,所以点F到平面EAB的距离等于 点C到平面AA1B的距离.所以VE-ABF=VF-ABE=SABEh=9 .即 所以x3=216,所以x=6.所以正方形的边长为6.13311x3xx9 33222，题型二 线面位置关系中的探索性问题【真题示例】(12分)(2015安徽高考)如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱锥P-ABC的体积.(2)证明:在
7、线段PC上存在点M,使得ACBM,并求 的值.PMMC【信息解读】(1)看到 AB=1,AC=2,BAC=60,想到 ABC的面积.(2)看到 ACBM,想到 线面垂直.【标准答案】(1)由题意可得SABC=ABAC sin60=,1分得分点 由PA平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以所求三棱锥的体积 3分得分点 1232ABC13VSPA.36(2)在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为点N,在 平面PAC内,过点N作MNPA交PC于点M,连接BM,2分得分点 由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC,由于BNMN=N,所以AC平面MBN,又BM平面MBN,所以AC
8、BM,2分得分点 在直角三角形BAN中,AN=ABcosBAC=,所以NC=AC-AN=,由MNPA,得 4分得分点 1232PMAN1.MCNC3【得分细则答题规则】第(1)问踩点说明(针对得分点):正确求出ABC的面积得1分.得分点有两处:一是求三棱锥的高得1分,二是计算三棱锥的体积得2分.第(2)问踩点说明(针对得分点)作出点M,得2分 证明ACBM,得2分 得分点有两处:一是计算AN,NC的长度得2分,二是求 的值得2分.PMMC答题规则1:写全解题步骤,步步为“赢”在书写解题过程时,对于是得分点的解题步骤一定要写全,阅卷时根据得分点评分,有则得分,无则不得分,如本题中对点M的确定,应
9、遵循“一作”“二证”的原则,如果不全面就会失分.答题规则2:涉及运算要准确 在解题过程中,涉及有关长度、角、面积、体积等计算问题时,一定要细心准确,否则导致思路正确,因运算失误而扣分.【跟踪训练】(2016张家口模拟)如图 所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为正三 角形,侧棱A1A底面ABC,点E,F分别是 棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB.当点M在何位置时,BM平面AEF?【解析】方法一:如图所示,取AE的中点O,连接OF,过点O作OMAC于点M,因为侧棱 A1A底面ABC,所以侧面A1ACC1底面ABC,所以OM底面ABC,又因为EC=2FB,所以OMFB,又OM=FB=EC,所以四边形OMBF为矩形,所以BMOF,又因为OF面AEF,BM面AEF,故BM平面AEF,此时点M为AC的中点.12方法二:如图所示,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ.所以PQAE,因为EC=2FB,所以PE=BF,又因为PEBF,所以四边形EPBF为平行四边形,所以PBEF,所以PQ平面AEF,PB平面AEF,又PQPB=P,所以平面PBQ平面AEF.又因为BQ平面PQB,所以BQ平面AEF,故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.