1、空间几何体的表面积和体积课时作业1(2019吉林长春二测)一个几何体的三视图如图所示，每个小方格都是长度为1的正方形，则这个几何体的体积为()A32 B.C. D8答案B解析几何体的直观图如图所示，棱锥的顶点在底面上的射影是底面一边的中点，易知这个几何体的体积为444.故选B.2(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12 C8 D10答案B解析根据题意，可得截面是边长为2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为的圆，且高为2，所以其表面积为S2()22212.故选B.3如
2、图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A4B16C24D25答案C解析由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R2，则R，故该球的表面积为4R224，故选C.4如图所示，某几何体的正(主)视图是平行四边形，侧(左)视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A6 B9 C12 D18答案B解析由三视图，得该几何体为一平行六面体，底面是边长为3的正方形，高h，所以该几何体的体积V339.5正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2
3、，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A4 B8 C12 D16答案B解析由正弦定理，得2r(其中r为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，r1，外接球的半径R，外接球的表面积S4R28.故选B.6如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A. B.C. D32答案C解析由三视图知，该几何体的底面是圆心角为120的扇形，故该几何体的体积为底面半径为4，高为6的圆锥的体积的三分之一，故所求体积V426.故选C.7(2019福州模拟)已知圆锥的高为3，它的底面半径为.若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积
4、等于()A. B. C16 D32答案B解析如图，设球心到底面圆心的距离为x，则球的半径r3x.由勾股定理，得x23(3x)2，解得x1，故球的半径r2，V球r3.故选B.8(2019江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A48 B48 C482 D482答案A解析该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，正四棱柱的高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积S2224251221248，故选A.9(2019黑龙江哈尔滨三中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A4 B2 C. D
5、.答案D解析由三视图可知，几何体为三棱锥，底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为1，则该几何体的体积为221.故选D.10如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是()A. B. C. D.答案D解析根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥PABC剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为222122.11祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、图、图分别是圆锥、圆台、半球，则满足祖暅原理的两个几何
6、体为()A B C D答案D解析设截面与下底面的距离为h，则中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为(R2h2)；中截面圆的半径为Rh，则截面圆的面积为(Rh)2；中截面圆的半径为R，则截面圆的面积为2；中截面圆的半径为，则截面圆的面积为(R2h2)所以中截面的面积相等，故其体积相等，故选D.12(2019唐山五校联考)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形框架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为()A10 cm B10 cmC10 cm D30 cm答案B解析依题意，在四棱锥SABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O
7、，连接SO，则SOAOBOCODO10 cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，在等腰三角形OAS中，OAOS10 cm，AS20 cm，所以O到SA的距离d10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心，所以皮球的半径R10 cm，故选B.13(2019江苏高考)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是_答案10解析设长方体中BCa，CDb，CC1c，则abc120，所以VEBCDabcabc10.14(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，
8、该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.答案118.8解析由题意，知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥46312(cm3)又因为V长方体664144(cm3)，所以模型的体积为V长方体V挖去的四棱锥14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)15(2019天津高考)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，
9、侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_答案解析由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半因为四棱锥的底面正方形的边长为，所以底面正方形对角线的长为2，所以圆柱的底面半径为.又因为四棱锥的侧棱长均为，所以四棱锥的高为 2，所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V21.16(2020河南八市重点高中联盟测评)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为_，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为_答案3解析该三棱锥侧面的斜高为，则S侧322
10、，S底2，所以三棱锥的表面积S表23.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥S表rS底1，所以3r，所以r，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmaxr3.17如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示(1)求证：AD平面PBC；(2)求三棱锥DABC的体积解(1)证明：PA平面ABC，PABC，PAAC，又ACBC，ACPAA，BC平面PAC，BC平面PAC，又AD平面PAC，BCAD.在RtPAC中，PAAC4，D为PC的中点，ADPC.BCPCC，AD平面PBC，
11、AD平面PBC.(2)由三视图，可得BC4，由(1)知，PAAC，D为PC的中点，BC平面PAC，又三棱锥DABC的体积即为三棱锥BADC的体积，VDABCVBADC444.18(2016江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h.连接O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍去)当0h0，V是单调递增函数；当2h6时，V0，V是单调递减函数故h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大
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