1、巴市一中2017-2018学年第一学期期中考试高三数学（理科）一、选择题（5分12=60分）每小题给出的四个选项只有一项正确1. 设，,则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】, ,。选D。2. 若复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意，则故选B考点：复数的运算，复数的模3. 已知等差数列中，则的值是（ ）A. 15 B. 30 C. 31 D. 64【答案】A【解析】为等差数列，设首项为，公差为， ， ， 由-得，即，故选A.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基
2、本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系，利用整体代换思想解答.4. 在中是的 （ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】略5. 已知函数，则等于（ ）A. 4 B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，。选D。6. 若数列的前项和，则的通项公式是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，整理得又，解得。数列是首项为1，公比为的等比数列，。选A。7. 设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点
3、，则等于()A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题可知，考点：平面向量的加法8. 如图所示，是函数（，）的图象的一部分，则函数解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由排除B、D，由排除C，故选A考点：函数的图象【方法点晴】本题主要考查函数的图象，属于中等题型，本题可以采用直接法（即按顺序求解），但计算量稍大，速度较慢本题可以采用排除法解题速度较快，即先由排除B、D，由排除C，可得正确答案A故解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法（即按顺序求解）2、排除法（抓住部分特征进行排除）9. 由直线，与曲线所围成封闭图形的面积为 ( )A. B. 1 C.
4、 D. 【答案】D【解析】试题分析：根据余弦函数的对称性可得，直线x，x，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为故答案为：D考点：定积分在求面积中的应用10. 若，则的值为()A. 1 B. 3 C. 6 D. 4【答案】D【解析】， ，。选D。11. 已知点是曲线上的一个动点，则点到直线 的距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】本题考查函数的导数与曲线的切线.此处.由得；直线的斜率为，过点且与直线平行的切线的斜率为令；令得或（舍）.当时，即切点为，点到直线的距离即为最短距离.故正确答案为B12. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，若在内关于的方程恰有3个不同
5、的实数根，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,，即， 函数f(x)的周期为4。当x0,2时，则x2,0，f(x)是偶函数，由f(x)loga(x+2)=0，得f(x)=loga(x+2)，令 作出函数的图象如图所示：当0a1时，要使方程f(x)loga(x+2)=0恰有3个不同的实数根，则需函数f(x)与g(x)=loga(x+2)的图象有3个不同的交点，则需满足，即，解得。故a的取值范围是。答案：C点睛：解题时要注意挖掘题目中的隐含信息，如由得到函数的周期为4等。另外还应注意解题方法的灵活选择，对于函数零点个数的问题，一般要结合函数的图象求解，在准确画出函数图象
6、的基础上，根据题意及图象的相对位置、特殊点的相对位置，得到不等式（组）再进一步求解。二、填空题（5分4=20分）13. 已知向量，且，则 _.【答案】8【解析】，,又， 。解得。答案：814. 已知各项不为的等差数列满足，数列是等比数列，且，则的值等于_【答案】8 ，解得，考点：等差数列的通项公式15. 函数的图象为，如下结论中正确的是_.图象关于直线对称； 图象关于点对称；函数在区间内是增函数；由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.【答案】【解析】由条件得，对于，当时，为最小值，所以直线为对称轴。故正确。对于，当时，所以点为对称中心。故正确。对于，当时，所以函数在区间内是增函数，故正确。对
7、于，把函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的解析式为，故不正确。综上可得正确结论为。答案：点睛：解决三角函数综合题的一般步骤（1）根据条件及三角变换，将所给函数化为的形式；（2）将看作一个整体，并结合所求及正弦（余弦）函数的相关性质进行求解（在解决单调性问题时要注意的符号）；（3）对于函数图象的变换，要注意变换的顺序和平移单位（或伸缩）的大小。16. 函数,若方程恰有四个不等的实数根, 则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：画出的图象，与交点个数就是方程的个数，由图知，当时，当直线与相切时，设切点，则得，当直线由绕点转至切线过程中，与有四个交点，所以的取值范围是，故答案为考点：1
8、、分段函数的解析式及图象；2、导数的几何意、方程的根与函数图象交点的关系及数形结合思想【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、导数的几何意、方程的根与函数图象交点的关系及数形结合思想，属于难题数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度本题通过与图象交点来解决方程根的个数问题正是体现了这种思想三、解答题17. 已知函数。（1）求的最小正周期：（2）求在区间上的最大值和最小值。【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分
9、析：（1）= ，最小正周期是（2）因为 ，所以，时，最小值是，时，的最大值是。考点：本题主要考查三角函数的和差倍半公式的应用，三角函数的图象和性质。点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，往往需要利用三角函数的和差倍半公式“化一”。本题（2）涉及角的范围及三角函数的最值，易出错。18. 设（1）求的单调区间；（2）在锐角中，角的对边分别为若，求面积的最大值【答案】（1）增区间，减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）将函数化为，然后根据正弦函数的单调区间求解；（2）由求得，然后根据余弦定理得到，由基本不等式可得，进而可得三角形面积的最大值。试题解析：(1)由题意知，由2k2x2k，kZ，可得
10、kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是k，k(kZ)；单调递减区间是k，k(kZ)(2)由f()sinA0，得sinA，由题意知A为锐角，所以cosA，由余弦定理得，所以，当且仅当bc时等号成立，所以，所以所以ABC面积的最大值为。19. 设是等差数列的前项和，已知，（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据条件布列首项与公差的方程组，求得通项；（2）利用等比前项和公式求和，然后转为最值问题.试题解析：解：（1）设公差为，则解得（2），是等比数列，考点：等差数列与等比数列的基本公式.20. 已知为
11、等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和（）【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）设出等差数列的公差和等比数列的公比，并结合条件进行求解得到 和，根据公式可得数列的通项；（2）根据条件得到数列的通项公式，并根据通项公式的特点选择用错位相减法求和。试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为由已知，得，而，所以又因为，解得所以；由，可得，由，可得，联立，解得，由此可得所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）由（1）可得设数列的前项和为，则 ，得 ， ，所以数列的前项和为点睛：数列求和时要注意根据数列通项公式的特征选择适
12、合的方法，在用错位相减法求和时以下几个地方比较容易出错：（1）注意在相减时对中的第一项和中最后一项的处理，不要忽视了符号问题；（2）在相减后得到的是，所以在求最后得结果时不要忘了两边除以。21. 已知函数（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，求的最小值【答案】（1）；（2）3【解析】试题分析：（1）求导数，根据的符号判断函数的单调性，根据求的值，解题时注意这一条件的运用；（2）利用（1）的结论，当时，试题解析：（1）因为，所以，且当a0时，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)0, 与f（x）0矛盾；当a0时，令f（x）=0，解得x=a，所以
13、当时，单调递减；当时，单调递增。所以当时，有最小值，且，又因为，所以，解得a=1；（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x1lnx0，即lnxx1，所以ln（x+1）x，当且仅当x=0时等号成立，令，所以，所以因为，所以，又，同时当n3时，因为m为整数，且对于任意正整数n，所以，故m的最小值为3 点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般要用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于导数中的数列不等式的证明，解题时常常要用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后通过取特值的方法转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和。 22. 在直角坐标系中，以坐标
14、原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（0），M的极坐标为（）由题设知|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2，于是O
15、AB面积当时，学|科网S取得最大值.所以OAB面积的最大值为.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23. 已知,，证明：（1）；（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）第一问展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论；（2）第二问利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论.试题解析：解： （2）因为 所以 ，因此点睛:利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种常见情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法.
