1、第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 【知识梳理】1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax+By+C0 直线Ax+By+C=0某一侧的所有点 组成的平面区域 不包括边界直线 Ax+By+C0 包括_ 不等式组 各个不等式所表示平面区域的_ 边界直线 公共部分 2.线性规划中的有关概念 名称意义约束条件由变量x,y组成的_线性约束条件 由x,y的一次不等式组成的 _目标函数关于x,y的函数_,如z=x+2y线性目标函数 关于x,y的_解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)不等式(组)不等式(组)解析式 一次 名称意义可行域所有_组成的集合最优解使目标函数取得
2、_ 的可行解线性规划问题在线性约束条件下 求线性目标函数的 _或_问题可行解 最大值或最小值 最大值 最小值 3.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.(1)直线定界,不等式含等号,直线在区域内,不含等号,直线不在区域内.(2)特殊点定域,在直线上方(下方)取一点,代入不等式成立,则区域就为上方(下方),否则就是下方(上方).特别地,当C0时,常把原点作为测试点;当C=0时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.【特别提醒】1.判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论 把Ax+By+C0或Ax+By
3、+Ckx+b或ykx+b则区域为直线Ax+By+C=0上方.(2)若ykx+b则区域为直线Ax+By+C=0下方.2.最优解与可行解的关系 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解,最优解不一定唯一.【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修5P86练习T3改编)不等式组 表示的平面区域是()x3y60 xy20，【解析】选C.x-3y+60,则必有BCAB,因为x+y-4=0的斜率为-1,所以直线kx-y=0的斜率为1,即k=1,故选A.3.设动点P(x,y)在区域:上,过点P任作直 线l,设直线l与区域 的公共部分为线段AB,则以AB为 直径的圆的面积的最大值为()A.B.2 C.3 D.
4、4 x0,yx,xy4 【解析】选D.作出不等式组所表示的可行域如图中阴 影部分所示,则根据图形可知,以AB为直径的圆的面积 的最大值S=4.24()24.求不等式组 所表示的平面区域的面积.xy50,y2,0 x2 【解析】如图,平面区域为直角梯形,易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5),所以AD=3,AB=2,BC=5.故所求区域 的面积为S=(3+5)2=8.12考向二 线性规划相关问题【考情快递】命题方向命题视角求目标函数的最值一般是利用目标函数的几何意义求解,有截距型、斜率型、距离型等,考查最值的求法求参数的值或范围考查最优解的应用及可行域的画法,属中档题【考题例
5、析】命题方向1:求目标函数的最值【典例2】(1)(2015全国卷)若x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为 .(真题溯源:本题源自A版必修5P91练习T1)xy50,2xy 10,x2y10,(2)(2015全国卷)若x,y满足约束条件 则 的最大值为 .x10,xy0,xy40 ，yx【解题导引】(1)此题为截距型,根据约束条件画出可 行域,在三角区域的顶点处取得最值.(2)此题为斜率型,作出可行域,由斜率的意义知,是 可行域内一点与原点连线的斜率,数形结合可求最值.yx【规范解答】(1)画出可行域如图所示.目标函数y=-2x+z,当z取到最大值时,y=-2x+z的纵截距最大,故将直线
6、移到点B(3,2)时,zmax=23+2=8.答案:8(2)作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点 A(1,3)与原点连线的斜率最大,故 的最大值为3.答案:3 yxyx【母题变式】1.本例题(1)条件不变,求z=2x+y的最小值.【解析】由例题解析知,当将直线移到点A时,取得最小值.A点是直线2x-y-1=0和x-2y+1=0的交点,所以A点坐标为(1,1),所以z的最小值为zmin=21+1=3.2.本例题(1)条件变为 求z=2x+y的最大值.yx,xy1,y1.【解析】作图易知可行域为一个三角形,当直线z=2x+y过点A(2,-1)时
7、,z取最大值,最大值是3.命题方向2:求参数的值或范围【典例3】(1)(2015福建高考)变量x,y满足约束条件 若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于 ()A.-2 B.-1 C.1 D.2 xy0,x2y20,mxy0.(2)(2014安徽高考)x,y满足约束条件 若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为 ()A.或-1 B.2或 C.2或1 D.2或-1 xy20,x2y20,2xy20，1212【解题导引】(1)将目标函数变形为y=2x-z,结合题意,对m分类讨论,画出可行域,结合图象,可找出最优解,进而求出m的值.(2)作出可行域,分析题干可知线性目标函数对应直线与可
8、行域某一边界重合,进而可求解.【规范解答】(1)选C.如图所示,当m0时,比如在的位置,此时为开放区域无最大值,当m2时,比如在的位置,此时在原点取得最大值不满足题意,当0m2时,在点A取得最大值,所以 代入得m=1.x2y2022mA(,)mxy02m 1 2m 1，(2)选D.由线性约束条件可得其图象如图所示,由图象可知直线z=y-ax经过AB或AC时取得最大值的最优解不唯一,此时a=2或-1.【技法感悟】线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值:画出可行域后,要根据目标函数 的几何意义求解,常见的目标函数有:截距型:形如 z=ax+by;距离型:形如 斜率型:形如 22zxayb
9、.ybz.xa(2)求参数的值或范围:参数的位置可能在目标函数中,也可能在约束条件中.求解步骤为:注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来;在符合题意的可行域里,寻求最优解.【题组通关】1.(2015福建高考)若变量x,y满足约束条件 则z=2x-y的最小值等于()x2y0,xy0,x2y20,53A.B.2 C.D.222【解析】选A.画出可行域如图所示,当目标函数平 移至B点时截距最大,所以 把点B坐标代入目标函数可得zmin=2(-1)-x2y01B(1,)x2y202，15.22 2.(2014全国卷)设x,y满足约束条件 且z=x+ay的最小值为7,则a=()A.-5 B.3
10、 C.-5或3 D.5或-3 xya,xy1,【解析】选B.方法一:画出不等式组对应的平面区域,如图所示.联立 解得 所以 当a=0时A为 z=x+ay的最小值为-,不满足题意;xya,xy1,a1x,2a1y,2 a1 a1A(,).221 1(,),2 212当a0时,当直线过点A时截距最小,z最小,此时z=7,解得a=-5(舍去)或a=3.1zxaa，1zxaa2a1aa22方法二:先画出可行域,然后根据图形结合选项求解.当a=-5时,作出不等式组表示的可行域,如图1(阴影部分)由 得交点A(-3,-2),xy1,xy5,则目标函数z=x-5y过A点时取得最大值.zmax=-3-5(-2
11、)=7,不满足题意,排除A,C选项.当a=3时,作出不等式组表示的可行域,如图2(阴影部分)由 得交点B(1,2),则目标函 数z=x+3y过B点时取得最小值.zmin=1+32=7,满足题意.xy1,xy3,3.(2014浙江高考)当实数x,y,满足 时,1ax+y4恒成立,则实数a的取值范围是 .x2y40,xy 10,x1 【解析】作出不等式组 所表示的区域,由1ax+y4,由图可知,a0且在(1,0)点取得最小值,在(2,1)点取得最大值,所以a1,2a+14,故a的取值范围为 答案:x2y40,xy 10,x1 31,.231,2考向三 线性规划实际应用【典例4】(1)(2015陕西
12、高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元 甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128(2)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y,表示每天的利润W(元);怎样
13、分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?【解题导引】(1)把企业的生产实际抽象为不等式组,表示出目标函数,画出可行域,根据可行域可找出最优解.(2)把公司生产的约束条件“翻译”成不等式组,画出可行域,可求目标函数最值.【规范解答】(1)选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,则 目标函数为z=3x+4y.作出二元一次不等式组所表 示的平面区域(阴影部分)即 可行域.3x2y12,x2y8,x0,y0,由z=3x+4y得 平移直线 由图象可知当直线 经过 点A时,直线 在y轴上的截距最大,此时z最 大,解方程组得 即A的坐标为(2,3),3zyx44，3zyx,4
14、4 3zyx44 3zyx44 3x2y12,x2,x2y8,y3,得所以zmax=3x+4y=6+12=18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨,3吨,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元.(2)依题意,每天生产的伞兵个数为100-x-y,所以利润W=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.约束条件为 5x7y4 100 xy600,100 xy0,x0,y0,xZ,yZ,整理,得 目标函数为W=2x+3y+300,如图所示,作出可行域.初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点A时,W有最大值,x3y200,xy100,x0,y0,xZ,yZ,最优解为A(50,5
15、0),所以Wmax=250+350+300=550(元).答:每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,为550元.x3y200,x50,xy100,y50.由解得【易错警示】解答本例题(2)容易出现以下错误:(1)弄不清约束条件,列不等式组时写错不等号的方向.(2)忽略总生产时间不超过10小时的条件,或用不等式表示不准确.【规律方法】利用线性规划解决实际问题的一般步骤(1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,借助表格或图形理清变量之间的关系.(2)设元:设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数.(3)作图:准确
16、作出可行域,平移找点(最优解).(4)求解:代入目标函数求解(最大值或最小值).(5)检验:根据结果,检验反馈.【变式训练】某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机,每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位,而生产一台A型或B型电视机所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位,如果允许使用的原料为100个单位,工时为120个单位,且A或B型电视机产量分别不低于5台和10台,应当生产每种类型电视机多少台,才能使利润最大?【解析】设生产A型电视机x台,B型电视机y台,则根据已知条件知线性约束条件为 线性目标函数为z=6x+4y.2x3y100,2x3y100,4x2y1
17、20,2xy60,x5,x5,y10y10 x,yN.x,yN.即，根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示,作直线l0:3x+2y=0,当直线l0平移至过点A时,z取最大值,解方程组 所以生产两种类型电视机各20台,所获利润最大.2x3y100,x20,2xy60,y20.得【加固训练】1.某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为()A.31200元 B.36000元 C.36800元 D.38400元【解析】选C.设旅行
18、社租用A型客车x辆,B型客车y辆,租金为z,则线性约束条件为 xy21,yx7,36x60y900,x,yN.目标函数为z=1600 x+2400y.画出可行域:图中阴影部分所示,可知目标函数过点N(5,12)时,有最小值zmin=36800(元).2.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 每亩年产量每亩年种植成本每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为()A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50【解析】选B.设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x,y亩,则总利润z=40.55x+60.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.此 时x,y满足条件 画出可行域如图,得最优解为A(30,20).xy50,1.2x0.9y54,x0,y0.