1、课时分层作业(八)空间中的距离(建议用时：40分钟)一、选择题1在平面直角坐标系中，A(2,3)，B(3，2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120的二面角，则AB的长为()AB2C3D4B过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B(图略)，则|3，|2，|5又，所以|232522223244，即|22已知直线l过定点A(2,3,1)，且n(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()A BC DA(2,0，1)，|，则点P到直线l的距离d3如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为()A1BCDB
2、建立如图所示的坐标系A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,4,0)，E(2,2,0)，则(2,0,2)，(0，4,2)，(2，2,2)设平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则z2，x2，n(2,1,2)，d4已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()AaBa CaDaD由正方体的性质，易得平面AB1D1平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a
3、,0)，(a，a，a)，(0，a,0)，连接A1C，由A1C平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n(1，1,1)，则两平面间的距离da5已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点E、F分别在A1B、B1D1上，且A1EA1B，B1FB1D1，则EF与平面ABC1D1的距离为()Aa BaCa DaB如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，易得E，F，故，(a,0,0)，(0，a，a)设n(x，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，由令z1，得n(0，1,1)n(0，1,1)0，n，故EF平面ABC1D1又，n(0，1,1)a，da二、填空题6已知平行六面体ABCD A1B1C1
4、D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60，则A，C1两点间的距离是_2设a，b，c，易得abc，则|2(abc)(abc)a22ab2ac2bcb2c244444424，所以|27已知棱长为1的正方体ABCDEFGH，若点P在正方体内部且满足，则点P到AB的距离为_建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(1,0,0)，所以P点到AB的距离为d8如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为_建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0,1,0)，B1(0，1,1)，C1(0,0,1
5、)，则，(0,1,0)，(0,1，1)设平面ABC1的一个法向量为n(x，y,1)，则有解得n，则所求距离为三、解答题9在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA1AD1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF平面EC1D(1)求BP的长；(2)求点P到平面EC1D的距离解(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，B(1,0,1)，D(0,2,1)，F(1，1,1)，E(0,1,0)，C1(1,2,0)，设P(a，b,1)，0,1，(0,1,1)，(1,1,0)，(1,2,0)，则(a1，b,0)(，2，0)，P(1，2，1
6、)，(，12，0)，设平面DEC1的法向量n(x，y，z)，则取x1，得n(1，1,1)，PF平面EC1D，n120，解得，P，BP的长|(2)由(1)得平面DEC1的法向量n(1，1,1)，点P到平面EC1D的距离：d10已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60的二面角，点M在线段AB上且不与点A，B重合，直线MF与由A，D，E三点所确定的平面相交，交点为O(1)若M为AB的中点，试确定点O的位置，并证明直线OD平面EMC；(2)若CEMF，求AM的长度，并求此时点O到平面CDEF的距离解(1)延长FM交EA的延长线于O，M为A
7、B中点，AEBF，M为OF中点，又ABEF，A为OE中点，连接DF交CE于N，则DOMN，又DO平面EMC，MN平面EMC，DO平面EMC(2)取AE中点H，由题意可知，EF平面DEA，EF平面CFB，DEACFB60，DEA与CFB是全等的正三角形，以H为原点建立空间坐标系如图，设AMt，则D(0,0，)，M(1，t,0)，E(1，0,0)，C(0,4，)，F(1,4,0)，(1，4，)，(2,4t,0)，CEMF，2164t0，解得tAM的长度为过O作OTDE于T，则由EF平面DEA，得OT平面CDEF，即OT为点O到平面CDEF的距离，OA14，OE16，OTOEsin168点O到平面C
8、DEF的距离为811如图所示，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12，ABBC1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()ABCDC建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)根据题意，可设点P的坐标为(0，2)，0,1，点Q的坐标为(1，0)，0,1，则PQ，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值12(多选题)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF平面B1DF，则AF的长度为()Aa BaC2a D2aACCF平面B1DF，CF
9、DF在矩形ACC1A1中，设AFmCD2DF2CF2CCDC10a2，CF24a2m2，DF2(3am)2a2，联立得ma或m2a，则AF的长度为a或2a13(一题两空)如图所示，在已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为直角梯形，ABCD，且ADC90，AD1，CD，BC2，AA12，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离为_，二面角ABEC的余弦值为_如图，以D为原点，、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，1)，过C作AB的垂线交AB于F，易得BF，B(1,2，0)，(0,2，0)，(1，1)设平面ABE的一个法向量为n(
10、x，y，z)，则由得y0，xz，不妨取n(1,0,1)(0,0,2)，AB1到平面ABE的距离d又B1(1,2，2)，(0,0,2)，(1，0)设平面BCE的一个法向量为n(x，y，z)易得xy，z0，取n(，1,0)，n与n所成的角为，则cos 14如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则AD到平面PBC的距离为_由已知，得AB，AD，AP两两垂直以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，(
11、2,0，2)，(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n(a，b，c)，则即取n(1,0,1)又(2,0,0)，AD平面PBC，所求距离为15如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离解法一：证明：(1)连接B1C，ME，M，E分别是BB1，BC的中点，MEB1C，且MEB1C又N为A1D的中点，NDA1D，由题设知A1B1DC，B1CA1D，MEND，四边形MNDE是平行四边形，所以MNED，又MN平面C1DE，MN平面C1DE(2)过C作C1E的垂线
12、，垂足为H，由已知可得DEBC，DEC1C，DE平面C1CE，故DECH，CH平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，由已知可得CE1，CC14，C1E，故CH，点C到平面C1DE的距离为法二：证明：(1)直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点DD1平面ABCD，DEAD，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，M(1，2)，N(1,0,2)，D(0,0,0)，E(0，0)，C1(1，4)，(0，0)，(1，4)，(0，0)，设平面C1DE的法向量n(x，y，z)，则取z1，得n(4,0,1)，n0，MN平面C1DE，MN平面C1DE(2)C(1，0)，(1，0)，平面C1DE的法向量n(4,0,1)，点C到平面C1DE的距离d
