1、课时分层作业(七)二面角(建议用时：40分钟)一、选择题1在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABBCAA1，E为CC1的中点，则二面角EBDC的平面角的大小为()ABCDB如图，连接AC，BD，相交于点O，ABBC，OCBD，而BCEDCE，BEDE，则OEBD，EOC为二面角EBDC的平面角，设ABBC2，则OCAC，AA12，则CECC1AA1EOC即二面角EBDC的平面角的大小为2过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且APAB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为()A BC D以上都不正确A设APAB1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
2、建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，(1,1，1)，(0,1，1)设平面PCD的法向量m(x，y，z)，则取y1，得m(0,1,1)，平面ABP的法向量n(0,1,0)，设平面ABP与平面CDP所成的角为，则cos ，3把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角BACD的大小为()A30 B45C60 D90D如图所示，欲使得三棱锥体积最大，三棱锥底面积一定，只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC平面DAC时，三棱锥体积最大，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角BACD的大小为904如图，已知
3、三棱锥ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且A1AB60，M是A1B1的中点，MBAC，则二面角A1BB1C的余弦值为()A BC DB取AB的中点O，连接OC，OA1则ABOC，ABOA1，建系如图所示，设OAOB1，则OA1OC，则平面ABB1的法向量为m(1,0,0)B(0,1,0)，C(，0,0)，A1(0,0，)，M(0,1，)，B1(0,2，)则(，1,0)，(0,1，)设平面BB1C的法向量为n(x，y，z)，则令x1，得n(1，1)，cosm，n5如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角BACD，M，N分别为AC，BD的中点，若，
4、则线段MN长度的取值范围为()A BC D1，A连接BM，DM，得ACBM，ACDM，DMB是二面角BACD的平面角，且BMDM，在等腰DMB中，MNBD，且DMNDMB，则MNDMcos线段MN长度的取值范围为二、填空题6若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是_120设二面角大小为，由题意可知cos()，所以1207若P是ABC所在平面外一点，且PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA，则二面角PBCA的大小为_90取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则POA就是二面角PBCA的平面角又POAO，PA，所以POA908如图，在边长为2的正方体
5、中，M为棱AB的中点，则二面角B1CMB的正切值是_以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，M(2,1,0)，(2，1,0)，(2,0,2)，设平面CMB1的法向量n(x，y，z)，则取x1，得n(1,2，1)，平面CBM的法向量n(0,0,1)，设二面角B1CMB的平面角为，则cos ，tan 二面角B1CMB的正切值为三、解答题9如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VAVBVCAB，求二面角AVBC的余弦值解取VB的中点为E，连接AE，CEVAVBVCAB，ABCD为正方形，AEVB，C
6、EVBAEC是二面角AVBC的平面角设ABa，连接AC，在AEC中，AEECa，ACa，由余弦定理可知：cosAEC，所求二面角AVBC的余弦值为10如图所示，在梯形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EFAB将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC(1)若BE3，在线段AD上取一点P，使APPD，求证：CP平面ABEF；(2)若平面ABEF平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长成等比数列，求平面EAC和平面ACF夹角的大小解(1)证明：在梯形ABCD中，ADBC，EFAB，BE3，AF3又AD6，BC4，EC1，FD3，在
7、线段AF上取点Q，使AQQF，连接PQ，QE，APPD，PQDF，CEDF，CEPQ，四边形ECPQ为平行四边形，CPEQ，CP平面ABEF，EQ平面ABEF，CP平面ABEF(2)在梯形ABCD中，ABAD，ABEF，EFAF，EFFD，平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDCEF，AF平面ABEF，AF平面EFDC设FAx(0x4)，EFAB2，FD6x，EC4x，FC，线段FA，FC，FD的长成等比数列，FC2FAFD，即4(4x)2x(6x)，化简得x27x100，x2或x5(舍去)以点F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则
8、F(0,0,0)，E(2,0,0)，C(2,2,0)，A(0,0,2)，(0,2,0)，(2,0,2)，设n1(x1，y1，z1)是平面EAC的法向量，则即取z11，则x11，y10，平面EAC的一个法向量为n1(1,0,1)又(2,2,0)，(0,0,2)，设n2(x2，y2，z2)是平面ACF的法向量，则即取x21，则y21，z20，平面ACF的一个法向量为n2(1，1,0)cosn1，n2平面EAC和平面ACF的夹角为锐角，平面EAC和平面ACF的夹角为6011(多选题)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面
9、ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值可能为()A B C DABCD在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，当F与B1重合时，平面EFB即为平面ABB1A，此时平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为90，余弦值为0，当E与A重合，F与C1重合时，平面EFB是平面ABC1D1，此时平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角为45，余弦值为平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是12如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为()A BC
10、 DD如图所示，连接BD，ACBDO，连接OF以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz设PAADAC1，则BD所以B，F，C，D结合图形可知，且为平面BDF的一个法向量，由，可求得平面BCF的一个法向量n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，即二面角CBFD的正切值为13(一题两空)在四棱锥PABCD中，PDAC，AB平面PAD，底面ABCD为正方形，且CDPD3若四棱锥PABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为_；当四棱锥PABCD的体积取得最大值时，二面角APCD的正切值为_6设CDx(0x3)，则PD3x，因为AB平面P
11、AD，所以ABPD，又PDAC，所以PD平面ABCD，则四棱锥PABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：43(x1)226四棱锥的体积为V(3x)x2(0x3)，则Vx22x，当0x2时，V0，当2x3时，V0，所以VmaxV(2)，此时ADCD2，PD1，过D作DHPC于H，连接AH，则AHD为二面角APCD的平面角DH，tanAHD14已知边长为2的正方形纸片ABCD，现将其沿着对角线AC翻折，使得二面角BACD的大小等于45，则四面体ABCD的体积为_如图，连接AC，BD，设AC与BD相交于E，则BEAC，DEAC，BED为二面角BACD的平面角，大小等
12、于45，且AC平面BED，在平面BED中，过B作BO平面ACD，则O在DE上，原正方形的边长为2，SACD222，BE，则BO1四面体ABCD的体积为2115如图，正方形ABCD的边长为4，ABAEBFEF，ABEF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD平面AEFB，G是EF的中点，如图图 图(1)求证：AG平面BCE；(2)求二面角CAEF的余弦值解(1)证明：连接BG，因为BCAD，AD底面AEFB，所以BC底面AEFB，又AG底面AEFB，所以BCAG，因为ABAE，所以四边形ABGE为菱形，所以AGBE，又BCBEB，BE平面BCE，BC平面BCE，所以AG平面BCE(2)由(1)知四边形ABGE为菱形，AGBE，AEEGBGAB4，设AGBEO，所以OEOB2，OAOG2，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0，2，0)，F(4,2，0)，C(0,2，4)，D(2,0,4)，所以(2,2，4)，(2，2，0)，设平面ACE的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则x，z，即平面ACE的一个法向量为n(，1，)，易知平面AEF的一个法向量为(0,0,4)，设二面角CAEF的大小为，由图易知，所以cos 故二面角CAEF的余弦值为