1、7.3正切函数的图象与性质 (15分钟30分)1.(2020青岛高一检测)与函数y=tan的图象不相交的一条直线是()A.x= B.x=-C.x= D.x=【解析】选D.当x=时,2x+=,而的正切值不存在,所以直线x=与函数y=tan的图象不相交.2.已知函数:y=tan x;y=sin ;y=;y=,其中周期为,且在上单调递增的是()A.B.C. D.【解析】选B.对于,y=tan x周期为,由正切函数的图象可得在上单调递增,所以正确;对于,y=sin 为偶函数,根据图象判断它不是周期函数,所以不正确;对于,由于函数y=周期为2=,利用正弦函数的图象可得在上单调递增,故正确;对于,y=的周
2、期为,利用余弦函数的图象可得在上单调递减,故不正确.3.下列关于函数y=tan的说法正确的是()A.在区间上单调递增B.最小正周期是C.图象关于点成中心对称D.图象关于直线x=成轴对称【解析】选B.k-x+k+,kZ,解得k-x0)的图象相邻两支的交点的距离为_.【解析】直线y=a与函数y=tan x的图象相邻两支的交点的距离正好是一个周期.答案:6.(2020宁波高一检测)函数y=lg的定义域为_.【解析】由题可知-tan x0,所以tan x.所以-+kx+k,kZ,所以函数的定义域是.答案: (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是(
3、)在上单调递增;以2为周期;是奇函数.A.y=tan x B.y=cos xC.y=tan D.y=-tan x【解析】选C.对A,y=tan x周期为,不满足,故排除A;对B,y=cos x在上单调递减,且为偶函数,故排除B;对C,y=tan满足条件.对D,y=-tan x在上单调递减,且周期为,故排除D.2.(2020宁波高一检测)已知函数f=tan,则下列说法错误的是()A.函数f的最小正周期为B.函数f的值域为RC.点是函数f的图象的一个对称中心D.f0,f=tan=tanf,故D不正确.3.(2020北京高一检测)已知函数f(x)=-2tan(2x+),其函数图象的一个对称中心是,则
4、该函数的一个单调递减区间是()A. B.C. D.【解析】选D.因为是函数的对称中心,所以2+=(kZ),解得=-(kZ),因为0,所以=,f(x)=-2tan,令-+k2x+k(kZ),解得-+xbc B.abac D.batan 2tan(5-).二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列说法错误的是()A.y=sin x在第一象限是增函数B.y=cos 的最小正周期为2C.y=tan x是增函数D.y=tan x的所有对称中心坐标为,kZ【解析】选ACD.由于39030,且都是第一象限角,sin 390=sin 30=,故函数y=sin
5、 x在第一象限不是增函数,故A不正确.y=cos =cos x其最小正周期为2,故B正确;y=tan x的单调递增区间为,kZ,故C不正确;由于函数y=tan x的图象的对称中心是,kZ,故D不正确.6.下列函数中,周期为,且在上为增函数的是()A.y=tan B.y=tanC.y=cos D.y=sin【解析】选AC.对于A选项,函数y=tan的周期为,且在上为增函数,符合题意,故A选项正确.对于B选项,函数y=tan的周期为,不合题意,故B选项错误.对于C选项,函数y=cos=sin 2x的周期为,且在上为增函数,符合题意,故C选项正确.对于D选项,函数y=sin=cos 2x在上为减函数
6、,不符合题意,故D选项错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.函数y=tan的单调递增区间为_.【解析】令-+kx+k,kZ,解得-5+6kx0且tan x1,由sin x0得x,kZ.由tan x1得x,kZ.因为=,kZ,所以原函数的定义域为,kZ.答案:,kZ四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f=.(1)求函数f的定义域;(2)用定义判断函数f的奇偶性;(3)在上作出函数f的图象.【解析】(1)由cos x0,得xk+(kZ),所以函数f的定义域是.(2)由(1)知函数f的定义域关于原点对称,因为f=-f,所以f是奇函数.(3)f=所以f在上的图象如图所示,10.(20
7、20上海高一检测)求下列函数的值域:(1)y=,x;(2)y=tan2x+3tan x-1,x.【解析】(1)因为y=,x,所以tan x,令t=tan x,则t,所以y=-1+,因为t,所以t-1,-1+,即y.(2)因为y=tan2x+3tan x-1,x,所以tan x,令m=tan x,m,所以y=f=m2+3m-1=-,所以f在上单调递增,在上单调递减,f=-,f=3,f=2-3,所以f.即函数的值域为.设函数f(x)=tan(x+),已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为,且图象关于点M对称.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的单调区间;(3)求不等式-1f(x)的解集.【解析】(1)由题意知,函数f的最小正周期为T=,即T=.因为0,所以=2,从而f=tan.因为函数y=f的图象关于点M对称,所以2+=,kZ,即=+,kZ.因为0,所以=,故f=tan.(2)令-+k2x+k,kZ,解得-+x+,kZ,所以函数的单调递增区间为,kZ,无单调递减区间.(3)由(1)知f=tan.由-1tan,得-+k2x+k,kZ,即-+x+,kZ,所以不等式-1f的解集为,kZ.