1、单科标准练(二)(满分：150分时间：120分钟)第卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合A2，1,0,1,2,3，Bx|ylg(x1)，则AB()A0,1,2,3B1,2,3C1,2 D2,3D根据题意可得，集合Bx|x1，xR，所以AB2,3，故选D.2在复平面内，设z1i(i是虚数单位)，则复数z2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限Bz1i，z2(1i)22ii，复数z2对应的点位于第二象限故选B.3已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)83xa(a为常数)，则f(1)(
2、)A.B. C.D.C因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)830a0，解得a8.所以f(1)f(1).故选C.4圆C1：x2y23x0与圆C2：(x3)2(y2)24的位置关系为()A相交 B内切C外切 D相离A圆C1：x2y23x0，整理得其标准方程为2y2，所以圆C1的圆心坐标为，半径r1.圆C2：(x3)2(y2)24，其圆心坐标为(3,2)，半径r22.所以圆C1，C2的圆心距|C1C2|，又r1r22，所以两圆相交故选A.5某校开设A类选修课3门和B类选修课4门，小明同学从中任选2门，则A，B两类课程都选上的概率为()A. B.C. D.D设3门A类选修课分别为A1，A
3、2，A3,4门B类选修课分别为B1，B2，B3，B4，小明同学从中任选2门，基本事件有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A3B1，A3B2，A3B3，A3B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，共21种，其中A，B两类课程都选上的有A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A3B1，A3B2，A3B3，A3B4，共12种，所以A，B两类课程都选上的概率为.故选D.6已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且7S24S4，则公比q的值为()A1 B1或C. D
4、C若q1，则7S214a1,4S416a1，a10，7S24S4，不合题意若q1，由7S24S4，得74，q2，又q0，q.故选C.7将函数f(x)cos 4x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)()A最大值为1，图象关于直线x对称B在上单调递减，为奇函数C在上单调递增，为偶函数D周期为，图象关于点对称B函数f(x)的图象经平移后得到函数g(x)的图象，其对应的解析式为g(x)cos 4cossin 4x.A项，g(x)sin 4x的最大值为1，其图象的对称轴方程为4xk(kZ)，解得x(kZ)，所以A项错误；B项，g(x)sin 4x的单调递减区间为(kZ)，所以
5、函数g(x)在上单调递减，且为奇函数，所以B项正确；C项，g(x)sin 4x为奇函数，所以C项错误；D项，g(x)sin 4x的周期，其图象的对称中心为(kZ)，所以D项错误故选B.8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为()A4B5 C.D.D三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥，记为三棱锥ABCD，如图，过点A作AEBD于点E，过点C作CFBD于点F，连接CE，AF，由三视图可得，AE4，BD4，BE3，ED1，BF2，FD2，CF3.所以CE2CF2FE29110，AC2CE2AE2101626，AB2BE2AE291625，AD2AE2DE2161
6、17，BC2DC2FD2CF2223213，所以最长的棱为AC，其长度为.故选D.9双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，过点F1作倾斜角为的直线交双曲线的右支于点M，若MF2垂直于x轴，则()A30 B60C30或150 D60或120C法一：设点M在x轴上方，则|MF2|，tan ，c2a2b2，e，tan ，30；当点M在x轴下方时，同理可得150.故选C.法二：当为锐角时，在RtMF1F2中，MF1F2，|F1F2|2c，|MF1|，|MF2|2ctan ，2a|MF1|MF2|2ctan ，e，又sin2cos21，sin ，cos ，30；同理可得，当为钝角
7、时，150.故为30或150.故选C.10已知数列an，a12，点在函数f(x)2x3的图象上数列bn满足bn，Tn为数列bn的前n项和，则Tn()A2n B.C. D.C由题意得an112an3，即an1an2，又a12，所以数列an是以2为首项、2为公差的等差数列所以数列an的通项公式为an2(n1)22n.所以bn.于是Tn.故选C.11如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是棱AA1，BC上的动点，若MN，则线段MN的中点P的轨迹是()A一条线段B一段圆弧C一个球面区域D两条平行线段B连接AN，AP(图略)，易知MAN为直角三角形因为MN，P为线段MN的中点，所
8、以AP，因此点P到点A的距离为定值，所以点P在以点A为球心，为半径的球面上运动，记此球为球O，分别取A1B1，D1C1，DC，AB的中点E，F，G，H，并顺次连接，则MA平面EFGH.记ANHGQ，则易知HQ为ABN的中位线，故Q为AN的中点连接PQ(图略)，则PQ为AMN的中位线，得MAPQ，又点Q在平面EFGH内，MA平面EFGH，所以点P在平面EFGH内运动，故点P的轨迹为平面EFGH与球O的球面的交线，所以点P的轨迹是一段圆弧故选B.12若函数f(x)在区间(2,3)上有唯一的极值点，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.C法一：因为f(x)，所以f(x).依题意，知0在区间(2
9、,3)上有唯一的实数解，即ex(x3)(a2)x20，所以a2.令g(x)，则g(x).因为x(2,3)，所以g(x)0，所以g(x)在(2,3)上单调递增，所以g(x)(g(2)，g(3)，即g(x)，因此应满足a20，故2a2.法二：因为f(x)，所以f(x).依题意，知0在区间(2,3)上有唯一的实数解，即ex(x3)(a2)x2.令g(x)ex(x3)，h(x)(a2)x2，易知函数g(x)在x2处取得极小值g(2)e2.在同一平面直角坐标系中分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图)，由图象可知要使两个函数的图象在(2,3)上有唯一的交点，应满足解得2a2.第卷本卷包括必考题和选考
10、题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)13已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，(3ab)(a2b)，则向量a与b的夹角为_60(3ab)(a2b)，(3ab)(a2b)3a25ab2b235ab80，5ab50，ab1，设a与b的夹角为，则cos ，a与b的夹角为60.14已知曲线f(x)xln xx在点A(x0，y0)处的切线平行于直线y3x19，则点A的坐标为_(e,2e)由题意知，函数f(x)的定义域为x|x0，f(x)(xln x)1ln x2.曲线f(x)在点
11、A(x0，y0)处的切线平行于直线y3x19，ln x023，ln x01，x0e.此时y0f(x0)x0ln x0x0ee2e，故点A的坐标为(e,2e)15已知实数x，y满足不等式组且目标函数z3x2y的最大值为180，则实数m的值为_60当m0时，不合题意；当m0时，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数z3x2y可变形为yx，作出直线yx并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点A(m,0)时，z3x2y取得最大值180，所以3m0180，解得m60.16设正三棱柱ABCA1B1C1的外接球O的半径为定值，当该正三棱柱的底面边长与侧棱长之和取最大值时，球O的表面积与该正
12、三棱柱底面三角形外接圆的面积比为_设球O的半径为R，ABC外接圆的圆心为D，半径为r，连接OA，OD，AD(图略)，令OAD，易知OAD为直角三角形，ADO90，rRcos ，AB2Rcos cos 30Rcos ，ODRsin ，AA1AB2Rsin Rcos Rsin()，其中sin ，cos .当sin()1，即时，该正三棱柱的底面边长与侧棱长之和取得最大值此时，cos cossin ，.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)如图，在梯形ABCD中，ABCD，BCD2BAD，BD2，AB，cosBCD.(1)求AD的长；(2)求cosCBD的值解(1
13、)因为BCD2BAD，cosBCD，所以cosBCD2cos2BAD1，得cos2BAD.因为BAD，所以cosBAD.在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcosBAD，即4AD262AD，得AD.(2)由(1)可得AD2BD2AB2，所以ADB，所以sinABD，cosABD.因为ABCD，所以BDCABD，所以sinBDC，cosBDC.因为cosBCD，所以sinBCD.所以cosCBDcos(BCDBDC)sinBCDsinBDCcosBCDcosBDC.18(本小题满分12分)五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，FAD90，EFAD，平面ADEF平面ABCD，
14、AFAB2，BC4，FE1.(1)求证：BEAC；(2)求平面ACE分五面体ABCDEF所成的两部分三棱锥DACE与多面体EFABC的体积比解(1)作EHAD于H，连接BH，则EH平面ABCDEHAC.易知AHFE1，tanABHtanACB，ABHACB，CABABHCABACB90，ACBH，又ACEH，EHBHH，AC平面EHB，ACBE.(2)V五面体ABCDEFVBAFEVEABCDSAEFABS矩形ABCDEH12826，且VEADCSACDEH42，V多面体EFABC6，三棱锥D ACE与多面体EFABC的体积比为45.19(本小题满分12分)NBA球员的比赛得分是反映球员能力和
15、水平的重要数据之一，以下是20172018赛季NBA常规赛中，球员J和H在某15场常规赛中，每场比赛得分的茎叶图：(1)根据茎叶图估计球员J在本赛季的场均得分以及球员H在本赛季参加的75场常规赛中，得分超过32分的场数；(2)效率值是更能反映球员能力和水平的一项指标，现统计了球员J在上述15场比赛中部分场次的得分与效率值如下表：场次12345得分x1821273031效率值y1920.526.528.830.2若球员J每场比赛的效率值y与得分x具有线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程x，并由此估计在上述15场比赛中，球员J的效率值超过31的场数(精确到0.001)参考公式：，
16、 .参考数据：xiyi3 288.2，x3 355.解(1)由茎叶图可得球员J在15场比赛中的场均得分为(151821222224273032333637383941)29(分)故估计球员J在本赛季的场均得分为29分由茎叶图可得球员H在15场比赛中，得分超过32分的有6场，以频率作为概率，故估计球员H在本赛季参加的75场常规赛中，得分超过32分的场数约为7530.(2)由表格可得25.4，25，又xiyi3288.2，x3 355，所以0.876，于是 250.87625.42.750，故回归直线方程为y0.876x2.750.由于y与x正相关，且当x32时，y0.876322.75030.7
17、8231，当x33时，y0.876332.75031.65831，所以估计在这15场比赛中，当球员J得分为33分，36分，37分，38分，39分，41分时，效率值超过31，共6场20(本小题满分12分)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点到直线l：yx的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)直线l与抛物线C相交于A，B两点，与直线l相交于点M，且|AM|MB|，N，求ABN面积的取值范围解(1)易知抛物线C：x22py(p0)的焦点为，由题意得，解得p，所以抛物线C的方程为x2y.(2)易知直线l的斜率存在且不为0，由题意可设M(m，m)(m0)，直线l：ymk(xm)(k1且k0)，联立方
18、程，得消去y，得x2kxkmm0，由题意知，k24(kmm)k24km4m0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2k，x1x2kmm，因为|AM|MB|，所以x1x22m，所以k2m，所以x1x22m2m.将k2m代入中，解得0m1，又k1，所以0m1且m，故直线l的方程为y2mx2m2m，点N到直线l的距离d.又|AB|x1x2|2，所以SABN|AB|d2|mm2|.令t，则SABN2t3，因为0m1且m，所以0t，所以2t3，所以SABN，所以ABN的面积的取值范围为.21(本小题满分12分)已知函数f(x)axln x，g(x)x3(2a)x2，aR.(1)若a1，证明：x
19、11，e，x21，e，使得f(x1)g(x2)；(2)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1ln x，当x1，e时，f(x)0，函数f(x)在1，e上单调递增，f(1)f(x)f(e)，即0f(x)e，当x1，e时，f(x)的值域为0，e当a1时，g(x)3x22xx(3x2)，当x1，e时，g(x)0，函数g(x)在1，e上单调递增，g(1)g(x)g(e)，即0g(x)e3e2，当x1，e时，g(x)的值域为0，e3e2e3e2e(e2e)e，0，e0，e3e2，x11，e，x21，e，使得f(x1)g(x2)(2)法一：由f(x)g(x)得axln xx
20、3(2a)x2，x0，aln xx2(2a)x，整理得a(ln xx)x22x.令G(x)ln xx，x(0，)，则G(x)1，当x(0,1)时，G(x)0，当x(1，)时，G(x)0，G(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，G(x)maxG(1)10，ln xx0恒成立，故a恒成立令h(x)，x(0，)，则h(x)，令k(x)2ln xx2，x(0，)，则k(x)1，当x(0,2)时，k(x)0，当x(2，)时，k(x)0，k(x)在(0,2)上单调递增，在(2，)上单调递减，k(x)maxk(2)2ln 242(ln 22)0，当x(0,1)时，h(x)0，当x(1，)时，h
21、(x)0，h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，h(x)maxh(1)1，ah(x)恒成立，a1，实数a的取值范围为1，)法二：由f(x)g(x)得axln xx3(2a)x2，设F(x)axln xx3(2a)x2，则F(x)0，根据F(1)12a1a0，得a1，下面证明当a1时，F(x)0恒成立记m(x)ln xx1，x0，)，则m(x)1，当x(0,1)时，m(x)0，当x(1，)时，m(x)0，m(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数，m(x)maxm(1)0，m(x)0，即ln xx1.axln xax(x1)，F(x)ax(x1)x3(2a)x2x32x
22、2axx(x1)2a10，故实数a的取值范围为1，)请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合曲线C1：22cos 80，曲线C2：(为参数)(1)求曲线C1的直角坐标方程，曲线C2的极坐标方程；(2)求曲线C1与曲线C2交点所在的直线的极坐标方程，并判断在极坐标系中点是否在该直线上解(1)曲线C1的直角坐标方程为x2y22x80，即(x1)2y29.曲线C2的直角坐标方程为(x3)2(y4)225，即x2y26x8y0，曲线C2的极坐标方程为28sin 6
23、cos 0.(2)联立方程，得，得sin cos 10，曲线C1与曲线C2交点所在直线的极坐标方程为sin cos 10.sincos 10，点在曲线C1与曲线C2交点所在的直线上23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|x1|，aR.(1)当a3时，求不等式f(x)x9的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含0,2，求a的取值范围解(1)当a3时，原不等式化为f(x)x9，f(x)当x3时，由2x2x9，解得x，故x；当3x1时，由4x9，解得x5，故不等式无解；当x1时，由2x2x9，解得x7，故x7.综上，f(x)x9的解集为7，)(2)f(x)|x4|的解集包含0,2等价于|xa|x4|x1|在x0,2上恒成立当x0,1时，|xa|x4|x1|3，3ax3a在0,1上恒成立，3a2.当x(1,2时，|xa|x4|x1|52x，2x5xa52x在(1,2上恒成立，对任意的x(1,2恒成立，解得3a1.综上，得3a1.故a的取值范围为3，1