1、第14讲函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中的普遍使用的函数模型)的广泛应用 知识梳理1幂函数、指数函数、对数函数模型增长的差异在区间(0，)，尽管yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增长，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，因而总存在一个x0，当xx0时，就会有 lo
2、gaxxn1).2应用问题的解法解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后用相应的数学知识去解决，其一般步骤为：(1)审题：阅读题目、理解题意，分析题目中的条件和结论，理顺有关数量关系；(2)建模：设置变量、将文字语言、图表语言等转换成符号语言，建立适当的数学模型；(3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问题的结论；(4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的回答 热身练习1当x0时，比较ylog5x，y5x，yx5三个函数，下列说法正确的是(B)Ay5x的图象始终在最上方B当x增长到足够大时，y5x的图象始终在最上方Cyx5的图
3、象与y5x的图象会不断穿插交汇，有无数个交点Dylog5x的图象与yx5的图象有一个交点 画出三个函数的图象，并结合它们的增长情况分析应选B.2方程x22x解的个数为(C)A1 B2C3 D4 画出yx2和y2x的图象，结合它们的增长情况，观察它们有3个交点，所以有3个解3某市生产总值两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产的年平均增长率为(D)A. B.C. D.1 设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)，所以x1.4一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，则年产量y随经过年数x变化的函数关系式为ya(1p%)x
4、(xN*，且xm).5用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大设隔墙的长度为x，矩形的面积为S.(1)S关于x的函数关系为S2x212x(0x1010，得()x108，两边取以10为底的对数，得xlg8，所以x，因为45.43，所以x45.43.即至少经过46小时，细胞总数超过1010个 (1)y100()x，xN*；(2)46 (1)在求解应用题时，要在认真审清题意，理顺关系上下功夫，设计合理的解题方案(2)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式2(经典
5、真题改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(B)(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2021年 B2022年C2023年 D2024年 设2018年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(112%)n200，得1.12n，两边取对数，得n，所以n4，所以从2022年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元 分段函数模型某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元
6、，每生产一台仪器增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润f(x)表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益总成本利润) (1)由已知总收益总成本利润，知道利润总收益总成本由于R(x)是分段函数，所以利润f(x)也是分段函数；(2)分别求出f(x)各段中的最大值，通过比较就可以求出f(x)的最大值 (1)设月产量为x台，则总成本为20000100x，从而：f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225000，当x300时，有最大值25000；当x400时，f(x)60000100x是减函数，则f(x)6
7、00001004002000025000.所以当x300时，f(x)有最大值25000.所以当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元 (1)分段函数的特征是每一段自变量所遵循的规律不同，因此，要根据每一段上函数表达式的特点选择相应的求解方法(2)分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后进行比较3某市2018年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造据调查，改造后预计该市在一个月内(以30天计)，民族文化旅游人数f(x)(万人)与时间x(天)的函数关系近似地满足f(x)4(1)，人均消费g(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似地满足g(x)104|x23|
8、.(1)求该市旅游收益p(x)(万元)与时间x(1x30，xN*)的函数关系式；(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资 (1)由题意知p(x)f(x)g(x)4(1)(104|x23|)(1x30，xN*)(2)由p(x)当1x23时，p(x)4(1)(81x)4(82x)4(822)400.当且仅当x，即x9时，p(x)取得取小值400.当23x30时，p(x)4(1)(127x)4(126x)设h(x)x，则有h(x)1400.所以当x9时，p(x)取得最小值400万元则两年内的税收为40015%301221.5%648600.所以600万元的投资可以在两年内收回1解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象、概括，将实际问题归结为相应的数学问题二是要合理选取参变量，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型，最终求解数学模型使实际问题获解2在引入自变量建立目标函数解决实际问题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验结果，看是否符合实际问题的要求