1、第一部分 高考专题讲解 专题一 集合、函数与导数第三讲 函数与方程及函数的实际应用函数与方程是紧密联系、相辅相成的关系，在一定条件下，它们可以互相转化，初等函数的解析式就是二元方程，函数的研究离不开方程，而研究方程的问题又需要函数的性质和图象的辅助，函数与方程是高考考查的重点内容考情分析在高考中一般以选择题或填空题的形式考查函数零点、二分法等知识点函数的应用是高考考查的热点内容，每年高考必考预计在2012年高考中将会出现依据题意选择恰当的函数模型或者是利用函数模型解决实际应用问题的题目考情分析要点串讲1.函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的
2、方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点2如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使f(c)0.特别地：(1)如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间a，b上 是 一个单 调 函数，那么当f(a)f(b)0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c(a，b)，使f(c)0；(2)如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a，b)内有零点时不一定有f(a)f(b)0.例如函
3、数f(x)x35x26x在区间1,4上有零点2和3，却有f(1)f(4)0.3由于函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决4用二分法求函数零点的近似值时应注意以下几点：(1)二分法是求图象连续不间断的函数的变号零点的一种算法，使用二分法求零点需满足：yf(x)在闭区间a，b上的图象连续不间断；f(a)f(b)0，二分法不适合不变号零点的情况；(2)在第一步中要使：区间长度尽量小，f(a)、f(b)的值比较容易计算且f(a)f(b)0，且a
4、1)，当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.高频考点解析 f1loga11b1b0f2loga22b1，13b0即f2f30故x02，3，即n2.答案 2类型二 函数与方程的综合应用【例2】(2011福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式yax3 10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以a21011，a2.(
5、2)由(1)可知，该商品每日的销售量y 2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)2x310 x62210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大类型三 函数模型及其应用【例3】(2011江苏)请你设
6、计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)若厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解 设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.由已知得a2x，h602x2230 x，0 x0；当x20，30时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值
7、.此时ha12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.好方法好成绩1.解决实际问题的一般程序(1)阅读理解即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中的量及其数学思想(2)根据各个量的关系，进行数学化设计即建立目标函数，将实际问题转化为数学问题(3)进行标准化设计即转化为常规的函数问题，或其他常规的数学问题去解决23种常见的数学模型(1)分段函数很多实际问题中变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是几个不同的关系式构成分段函数如出租车的票价与路程之间的函数就是分段函数(2)二次函数在实际问题中，有很多问题的两个变量之间的关系是二次函数关系如面积问题、利润问题、产量问题
8、等等(3)指数函数与增长率、银行的利率有关的问题都属于指数函数模型.高考陪练1.(2011陕西)函数f(x)xcosx在0，)内()A没有零点B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点D有无穷多个零点解析：f(0)10.又 f(x)12x-12 sinx0，知 f(x)在0，)上单调递增，故选 B.答案：B2(2011浙江)设a，b，c为实数，f(x)(xa)(x2bxc)，g(x)(ax1)(cx2bx1)记集合Sx|f(x)0，xR，Tx|g(x)0，xR若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是()A|S|1且|T|0B|S|1且|T|1C|S|2且|T|2D|S|2且|
9、T|3解析：(1)|S|1时，即f(x)0有一个实数解，即(xa)(x2bxc)0有一个实数解当a0，c0时，x1a，x2bxc0无解，b24c0，g(x)(ax1)(cx2bx1)有一个解x1a，|S|1且|T|1，故B正确；当a0，c0时，|S|1，(ax1)(cx2bx1)0无解，|T|0，A正确(2)|S|2时，f(x)0有两个实数解，即(xa)(x2bxc)0有两解，则x2bxc0中b24c0，g(x)(ax1)(cx2bx1)，x11a，cx2bx10有一解，|S|2，|T|2，C正确答案：D3(2011崇明模拟)函数f(x)2x3x的一个零点所在的一个区间是()A(1,2)B(0
10、,1)C(1,0)D(2，1)解析：f(1)2130 一个零点所在的区间为(1,0)答案：C4(2011西安地区八校联考)函数 f(x)x22x3，x02lnx，x0的零点个数为()A0 B1C2 D3解析：当x0时，f(x)的零点为x3；当x0时，f(x)的零点为xe2.故共有两个零点答案：C5(2011深圳市第一次调研)在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是()A450元B500元C550元D600元解析：依题意知，若所有的货物集合到一号仓库，则需要的运费是20100.540400.5900元；若所有的货物 集 合 到 二 号 仓 库，则 需 要 的 运 费 是 10100.5 40300.5650元；若所有的货物集合到三号仓库，则需要的运费是10200.520100.540200.5600元；若所有的货物集合到四号仓库，则需要的运费是1030 0.5 20200.540100.5550元；若所有的货物集合到五号仓库，则需要的运费是10400.520300.5500元综上所述，选B.答案：B高考专题训练三