1、课时素养评价四十五函数的零点 (15分钟35分)1.若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(0)0,f(1)0,f(2)0,则y=f(x)有唯一零点需满足的条件是()A.f(3)0D.函数f(x)在定义域内是减函数【解析】选D.因为f(1)0,f(2)0,所以函数f(x)在区间(1,2)上一定有零点.若要保证只有一个零点,则函数f(x)在定义域内必须是减函数.2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.根据题意,函数f(x)=mx+1,当m=0时,f(x)=1,没有零点,当m0时,f(x)为单调函数,若其在区间(1,2)内存
2、在零点,必有f(1)f(2)0,即(m+1)(2m+1)0,解可得:-1m-,即m的取值范围为.3.(2020张家界高一检测)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=ln 2-2ln e-1=0,即f(1)f(2)0,f(2)=ln 2+2-4=ln 2-20,故f(2)f(3)bcB.bcaC.cabD.bac【解析】选B.令f(x)=3x+x=0,则x=-3x,令g(x)=log3x+x=0,则x=-log3x,令h(x)=x3+x=0,则x=-x3,设函数f(x),g(x),h(x)的零点分别
3、为a,b,c,作出函数y=-3x,y=-log3x,y=-x3,y=x的图象如图,由图可知:bca.5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是_.【解析】因为函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,所以即所以g(x)=6x2-5x-1,所以g(x)的零点为1和-.答案:1和-6.已知函数f(x)=(1)在如图所示的坐标系中,作出函数f(x)的图象并写出单调区间.(2)若f(a)=2,求实数a的值.(3)当m为何值时,f(x)+m=0有三个不同的零点.【解析】(1)函数图象如图,由图可知,函数的减区间为;增区间为,(1,+).(2)由f
4、(a)=2,得a2-a=2(a1)或log2(a-1)=2(a1).解得a=-1或a=5.(3)由图可知要使f(x)+m=0有三个不同的零点,则-m0,解得0m0,函数f(x)=,(xR).(1)证明:f(x)是奇函数.(2)如果方程f(x)=1只有一个实数解,求a的值.【解析】(1)由函数f(x)=(xR),可得定义域为R,且f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)方程f(x)=1只有一个实数解,即为x2-ax+1=0,即=a2-4=0,解得a=2(-2舍去),所以a的值为2. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020十堰高一检测)若点(log147
5、,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则f(x)的零点为()A.1B.C.2D.【解析】选D.根据题意,点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则log1456=klog147+3,解得k=-2,则f(x)=-2x+3,若f(x)=0,则x=,即f(x)的零点为.2.(2020烟台高一检测)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且,是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,的大小关系可能是()A.abB.abC.abD.ab【解析】选C.因为,是函数f(x)的两个零点,所以f()=f()=0.又f(a)=f(b)=-20且a1),若函数图象上关于原点
6、对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.当x0时,函数g(x)=logax的图象与函数f(x)的图象关于原点对称;又x0时,f(x)=cos-1,画出函数f(x)=cos-1(x0)和函数g(x)=logax的图象,如图所示:要使f(x)=cos-1(x0)与g(x)=logax(x0)的图象至少有3个交点,需使0a1,且f(6)g(6);即所以解得即0a,所以a的取值范围是.4.已知函数f(x)=则函数y=f(f(x)-1的零点个数为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.由题意,令f(f(x)-1=0,得f(f(x)=1,令f(x)=t,由f(t)=1,
7、得t=-1或t=,作出函数f(x)的图象,如图所示,结合函数f(x)的图象可知,f(x)=-1有1个解,f(x)=有2个解,故y=f(f(x)-1的零点个数为3.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.若函数f(x)=x+(aR)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是()A.-2B.-1C.-4D.-3【解析】选AD.f(x)=x+(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的,则0,解得-4a4B.4C.0m4.【光速解题】选取特殊值通过求零点判断.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020抚州高一检测)函数f(x)=(2x-3)ln(x-
8、2)的零点个数为_.【解析】函数的定义域为x|x2,令(2x-3)ln(x-2)=0,因为2x-30,可得ln (x-2)=0,解得x=3.所以函数的零点只有1个.答案:1【误区警示】本题容易出现忽视定义域的错误,误认为零点个数为2.8.(2020徐州高一检测)设函数f(x)=g(x)=loga(x-1)(a1).(1)f(2 019)的值为_;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)恰有3个零点,则实数a的取值范围是_.【解析】(1)f(2 019)=f(2 017)=f(-1)=-1=1;(2)当0x2时,-2x-20,所以f(x)=f(x-2)=-1;当2x4时,0x-22,所以f(x)
9、=f(x-2)=-1;当4x6时,2x-24,所以f(x)=f(x-2)=-1;当6x8时,4x6,所以f(x)=f(x-2)=-1;画出f(x)和g(x)两个函数的图象如图所示,由loga(4-1)=3,得a=,由loga(6-1)=3,得a=,由图可知,当两个函数的图象有3个交点时,即函数h(x)=f(x)-g(x)恰有3个零点时,实数a的取值范围是(,.答案:(1)1(2)(,四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020常州高一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+6)=f(x),当x(0,3)时,f(x)=loga(x2-x+1).(1)当x(-3,0)时,求f(x)
10、的解析式;(2)求函数f(x)在-3,3上的零点构成的集合.【解析】(1)当x(-3,0)时,-x(0,3),所以f(-x)=loga(-x)2-(-x)+1=loga(x2+x+1).因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-loga(x2+x+1),即当x(-3,0)时,f(x)=-loga(x2+x+1).(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-3)=-f(3),因为f(x+6)=f(x),所以f(-3)=f(3),所以f(-3)=f(3)=0,当x(0,3)时,令f(x)=loga(x2-x+1)=0,得x2-x+1=1,解得x=0(舍去
11、),或x=1,即f(1)=0,又因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1)=0,所以函数f(x)在-3,3上的零点构成的集合为-3,-1,0,1,3.10.已知函数f(x)=(c为常数),若1为函数f(x)的零点.(1)求c的值.(2)证明函数f(x)在0,2上是单调增函数.(3)已知函数g(x)=f(ex)-,求函数g(x)的零点.【解析】(1)因为1为函数f(x)的零点,所以f(1)=0,即c=1.(2)设0x1x22,则f(x2)-f(x1)=-=,因为0x10,x2+10,x1+10,所以f(x2)f(x1),即函数f(x)在0,2上是单调增函数.(3)令g(x)=f(ex)-=
12、-=0,所以ex=2,即x=ln 2,所以函数g(x)的零点是ln 2.1.(2020南通高一检测)已知函数f(x)=函数g(x)=f(1-x)-m,则当m1时,函数y=f(x)+g(x)的零点个数为_.【解析】因为f(x)=所以f(1-x)=令y=f(x)+f(1-x)-m=0得m=f(x)+f(1-x),令h(x)=f(x)+f(1-x)=作出h(x)的函数图象如图所示:所以当m0时,f(x)=x2-2x+2.若对任意x1-1,0),都存在唯一的x20,+),使得f(x1)+f(x2)=a成立,则实数a的取值范围是()A.(-2,-10,+)B.(-2,-1)0,+)C.(-2,-1D.1,+)【解析】选A.由函数为定义在R上的奇函数及x0时,f(x)=x2-2x+2,得x0时,由f(x1)+f(x2)=a,可得a-f(x2)=f(x1)(-2,-1,即f(x2)a+1,a+2),由题意可得a+11,即有a0,综上可得,a的取值范围是(-2,-10,+).