1、课时素养评价 二十九直线与平面垂直 (20分钟40分)1.已知直线l,则()A.lB.l C.lD.以上均有可能【解析】选C.由于,则平面内存在两条相交直线m,n分别平行于平面内两条相交直线a,b,又l,则la,lb,所以lm,ln,所以l.2.已知直线a,b和平面,下列推理中错误的是()A.abB.bC.a或aD.ab【解析】选D.当a,b时,a与b可能平行,也可能相交或异面,即D推理错误.3.直线a平面,b,则a与b的关系为()A.ab且a与b相交B.ab且a与b不相交C.abD.a与b不一定垂直【解析】选C.因为b,所以b平行于内的某一条直线,设为b,因为a,且b,所以ab,所以ab,但
2、a与b可能相交,也可能异面.4.有下列四种说法,正确的序号是_.过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直;已知两条不重合的直线m,n和平面,若mn,m,则n;a,b,l表示三条不同的直线,表示平面,若a,b,la,lb,则l;若直线a不平行于平面,则直线a垂直于平面.【解析】正确;对于,若直线n,也可满足mn,m,此时n不正确;对于,只有a,b相交时,才成立,否则不成立;显然错误,因为不平行时可以相交,而垂直只是相交的一种特殊情况.故只有正确.答案:5.如图,在四棱锥S-ABCD中,ABCD,BCCD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2, CD=SD=1.求证:SD平面SAB.【证明】因为
3、ABCD,BCCD,AB=BC=2,CD=1,所以底面ABCD为直角梯形,AD=.因为侧面SAB为等边三角形,所以SA=SB=AB=2.又SD=1,所以AD2=SA2+SD2,所以SDSA.连接BD,则BD=,所以BD2=SD2+SB2,所以SDSB.又SASB=S,所以SD平面SAB.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,ADCD,DB平分ADC,E为PC的中点,AD=CD.(1)证明:PA平面BDE;(2)证明:AC平面PBD.【证明】(1)设ACBD=H,连接EH.在ADC中因为AD=CD,且DB平分ADC,所以H为AC的中点.又由题设,E为PC的中点,故EHPA,又EH平
4、面BDE,且PA平面BDE,所以PA平面BDE.(2)因为PD平面ABCD,AC平面ABCD,所以PDAC.由题意可得,DBAC,又PDDB=D,故AC平面PBD. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A.,且mB.mn,且nC.,且mD.mn,且n【解析】选B.m.2.如图,P为ABC所在平面外一点,PB,PCAC,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】选B.由PB,AC得PBAC,又ACPC,PCPB=P,所以AC平面PBC,ACBC.3.
5、如图所示,PA平面ABC,在ABC中,BCAC,PBA=1,PBC=2, ABC=3.则下列关系一定成立的是()A.cos 1cos 2=cos 3B.cos 1cos 3=cos 2C.sin 1sin 2=sin 3D.sin 1sin 3=sin 2【解析】选B.BC平面PACBCPC,所以cos 1=,cos 2=,cos 3=.则有cos 1cos 3=cos 2.4.已知PA垂直平行四边形ABCD所在的平面,若PCBD,则平行四边形ABCD一定是()A.平行四边形 B.矩形C.正方形D.菱形【解析】选D.因为PA平面ABCD,所以PABD.因为PCBD,且PAPC=P,所以BD平面
6、PAC,所以ACBD.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是()A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.AC1BD1【解析】选ABC.在正方体中BDB1D1,可知选项A正确;由BDAC,BDCC1可得BD平面ACC1;从而BDAC1,即选项B正确;由以上可得AC1B1D1,同理AC1D1C,因此AC1平面CB1D1,即选项C正确;由于四边形ABC1D1不是菱形,所以AC1BD1不正确.6.如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的有()A.B.C.D.【解析
7、】选BD.对于由AB与CE所成角为45,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于由ABCE,ABED且CEED=E,可得AB平面CDE;对于由AB与CE所成角为60,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于由ED平面ABC,可得EDAB.又可得CEAB,EDCE=E,所以AB平面CDE.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,PA平面ABC,M,N分别为PC,AB的中点,使得MNAC的一个条件为_.【解析】取AC中点Q,连接MQ,NQ,则MQAP,NQBC,由已知条件易得MQAC,若ACBC,则NQAC,所以AC平面MNQ,所以ACMN.答案:ACBC8.下列说法中正确的是_.如果直线l与平面
8、内的无数条直线垂直,则l如果直线l与平面内的一条直线垂直,则l如果直线l不垂直于平面,则内没有与l垂直的直线如果直线l不垂直于平面,则内也可以有无数条直线与l垂直【解析】如图所示,直线l与内的无数条直线垂直.但l与斜交,故不正确;同理也不正确;同样由图可知,l不垂直于,但内有与l垂直的直线,且这样的直线有无数条,故不正确,正确.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在四棱锥P-ABCD中,O是底面正方形ABCD的中心,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.(1)证明:EO平面PAD;(2)证明:DE平面PBC.【证明】(1)连接AC,因为点O是底面正方形ABCD的中心
9、,所以点O是AC的中点,又因为E是PC的中点,所以在PAC中EO是中位线,所以PAEO.因为EO平面PAD,PA平面PAD,所以EO平面PAD.(2)因为PD平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC,因为底面ABCD是正方形,有BCDC,PDDC=D,所以BC平面PDC.而DE平面PDC,所以BCDE.因为PD=DC,可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,所以DEPC.又BC,PC平面PBC,且BCPC=C,所以DE平面PBC.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC= 60,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CDAE;(2
10、)PD平面ABE.【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PA底面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.又因为ACCD,且PAAC=A,所以CD平面PAC.而AE平面PAC,所以CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AEPC.由(1)知AECD,且PCCD=C,所以AE平面PCD.而PD平面PCD,所以AEPD.因为PA底面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.又因为ABAD,且PAAD=A,所以AB平面PAD,而PD平面PAD,所以ABPD.又因为ABAE=A,所以PD平面ABE.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC
11、=1,ACB=90,AA1=,D是A1B1的中点.(1)求证:C1D平面AA1B1B;(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1平面C1DF?并证明你的结论.【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且A1C1B1=90,又D是A1B1的中点,所以C1DA1B1,因为AA1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,所以AA1C1D,又A1B1AA1=A1,所以C1D平面AA1B1B.(2)作DEAB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,则AB1平面C1DF,点F为所求,此时F为BB1的中点.由(1)知C1D平面AA1B1B,AB1平面AA1B1B,所以C1DAB1,又AB1DF,DFC1D=D,所以AB1平面C1DF.