1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3讲分类讨论思想、转化与化归思想研考点考向破重点难点一分类讨论思想分类讨论的原则分类讨论的常见类型1.不重不漏2标准要统一，层次要分明3能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论1.由数学概念而引起的分类讨论2由数学运算要求而引起的分类讨论3由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论4由图形的不确定性而引起的分类讨论5由参数的变化而引起的分类讨论分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略考点1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论 典型例题 (1)若函数f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值为4
2、，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_(2)在等比数列an中，已知a3，S3，则a1_【解析】(1)若a1，有a24，a1m.解得a2，m.此时g(x)为减函数，不合题意若0a1，有a14，a2m，故a，m，检验知符合题意(2)当q1时，a1a2a3，S33a1，显然成立当q1时，由a3，S3，所以由，得3，即2q2q10，所以q或q1(舍去)当q时，a16，综上可知，a1或a16.【答案】(1)(2)或6 规律方法(1)指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此，当底数a的大小不确定时，应分0a1两种情况讨论(2)利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定
3、，应分q1和q1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的 对点训练1已知函数f(x)若f(1)f(a)2，则a的所有可能取值为_解析：f(1)e01，即f(1)1.由f(1)f(a)2，得f(a)1.当a0时，f(a)1ea1，所以a1.当1a0时，f(a)sin(a2)1，所以a22k(kZ)所以a22k(kZ)，k只能取0，此时a2.因为1a0时，g(x)的对称轴x0，g(x)在(0，1)内单调递增，符合题意，当a0时，需满足g(x)的对称轴x1，解得a0，综上，a.答案：考点2 由图形位置或形状引起的分类讨论 典型例题 设A、B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AM
4、B120，则m的取值范围是()A(0，19，)B(0，9，)C(0，14，) D(0，4，)【解析】依题意得，或，所以或，解得00，函数f(x)在R上单调递增；当a0，解得xln，由f(x)ln.故f(x)在上单调递增，在上单调递减综上所述，当a0时，f(x)在R上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减 规律方法若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏本例研究函数性质对参数a进行分类讨论，分为a0或a0.对点训
5、练已知函数f(x)mx2xln x，若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，则实数m的取值范围为_解析：f(x)2mx1，即2mx2x10时，由于函数y2mx2x1的图象的对称轴x0，故需且只需0，即18m0，故0m1，都有f(xt)3ex，试求m的最大值【解】因为当t1，)，且x1，m时，xt0，所以f(xt)3exextext1ln xx.所以原命题等价转化为：存在实数t1，)，使得不等式t1ln xx，对任意x1，m恒成立令h(x)1ln xx(1xm)因为h(x)10，所以函数h(x)在1，)内为减函数又x1，m，所以h(x)minh(m)1ln mm，所以
6、要使得对任意x1，mt值恒存在，只需1ln mm1.因为h(3)ln 32lnln 1，h(4)ln 43lnln 1，且函数h(x)在1，)上为减函数，所以满足条件的最大整数m的值为3. 规律方法函数、方程与不等式相互转化的应用(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因为借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围 对点训练若方程2x3xk的解在1，2)内，则k的取值范围为_解析：令函数f(x)2x3xk，则f(x)在R上是增函数当方程2x3xk的解
7、在(1，2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0解得5k0恒成立，则即解得log2x3，即0x8，故实数x的取值范围是(8，)(2)由题意得g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则g(x)0在(t，3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x.当x(t，3)时恒成立，所以m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x，当x(t，3)时恒成立，则m49，即m.所以使函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为.【答案】(1)(8，)(2) 规律方法(1)正与反的转化要点正与反的转化，体现“正难则反”
8、的原则，先从反面求解，再取反面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中(2)主与次的转化要点在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数 (或参数)，将其看作是“主元”，而把其他变元看作是常量， 从而达到减少变元简化运算的目的通常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元” 对点训练由命题“存在x0R，使e|x01|m0”是假命题，得m的取值范围是(，a)，则实数a的取值是()A(，1)B(，2)C1 D2解析：选C.由命题“存在x0R，使e|x01|m0”是假命题，可知它
9、的否定形式“任意xR，使e|x1|m0”是真命题，可得m的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故a1.练典型习题提数学素养一、选择题1已知函数f(x)x2(a1)xab，若不等式f(x)0的解集为x|1x4，则a2b的值为()A2B3C3 D2解析：选A.依题意，1，4为方程x2(a1)xab0的两根，所以解得所以a2b的值为2，故选A.2在等差数列an中，a2，a2 018是函数f(x)x36x24x1的两个不同的极值点，则loga1 010的值为()A3 BC3 D.解析：选B.f(x)3x212x4，因为a2，a2 018是函数f(x)x36x24x1的两个不同的极值点，
10、所以a2，a2 018是方程3x212x40的两个不等实数根，所以a2a2 0184.又因为数列an为等差数列，所以a2a2 0182a1 010，即a1 0102，从而loga1 010log2.3过抛物线yax2(a0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则等于()A2a B.C4a D.解析：选C.抛物线yax2(a0)的标准方程为x2y(a0)，焦点F.过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|QF|，所以4a.4已知函数f(x)x24x2的定义域为1，t，f(x)的最大值与最小值之和为3，则实数t的取值范围是()A(1，3 B2，3C(1，2 D(2，
11、3)解析：选B.f(x)x24x2的图象开口向上，对称轴为x2，f(1)1，f(2)2，当1tf(2)2，则f(x)maxf(x)min3，不符合题意；当t2时，f(x)minf(2)2，则f(x)max3f(2)1，令f(x)1，则x24x21，解得x1或x3，所以2t3，故选B.5在钝角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a4，b3，则c的取值范围是()A(1，)(5，7) B(1，)C(5，7) D(5，)解析：选A.三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得1c7，若C为钝角，则cos C5，若A为钝角，则cos A0，解得0c|PF2|，则的值为_解析：若
12、PF2F190.则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又因为|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，所以.若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，所以|PF1|2(6|PF1|)220，所以|PF1|4，|PF2|2，所以2.综上可知，或2.答案：或29已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数对任意a1，1，都有g(x)0，则实数x的取值范围为_解析：由题意，知g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.由题意得即解得x1.故x的取值范围为.答案：三、解答题10(2019长春市质量监
13、测(二)已知函数f(x)(a1)ln xx(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若函数f(x)在1，3上的最大值为2，求实数a的值解：(1)a2时，f(x)ln xx，f(x)1，f(2)ln 23，f(2)0，所以曲线在点(2，f(2)处的切线方程为yln 23.(2)f(x)1(1x3)，当a1时，f(x)0，f(x)在1，3上单调递减，所以f(1)2，a1；当a3时，f(x)0，f(x)在1，3上单调递增，所以f(3)2，a3，舍去；当1a3时，f(x)在(1，a)上单调递增，在(a，3)上单调递减，所以f(a)2，ae.综上，a1或ae.11(2
14、019唐山市摸底考试)设f(x)2xln x1.(1)求f(x)的最小值；(2)证明：f(x)x2x2ln x.解：(1)f(x)2(ln x1)所以当x时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x时，f(x)取得最小值f1.(2)证明：x2x2ln xf(x)x(x1)2(1x)ln x(x1)，令g(x)x2ln x，则g(x)10，所以g(x)在(0，)上单调递增，又g(1)0，所以当0x1时，g(x)1时，g(x)0，所以(x1)0，即f(x)x2x2ln x.12(2019重庆市学业质量调研)已知离心率为的椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，且1.(1)求椭圆的标准
15、方程；(2)过椭圆左焦点F的直线l与椭圆交于M，N两点，且直线l与x轴不垂直，若D为x轴上一点，|，求的值解：(1)A1，A2，B的坐标分别为(a，0)，(a，0)，(0，b)，(a，b)(a，b)b2a21，所以c21.又e，所以a24，b23.所以椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知F(1，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为直线l与x轴不垂直，所以可设其方程为yk(x1)当k0时，易得|MN|4，|DF|1，4.当k0时，联立得得(34k2)x28k2x4k2120，所以x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.又y1y2k(x1x22)，所以MN的中点坐标为.所以MN的垂直平分线方程为y(k0)，令y0得，x0，解得x.|DF|，所以4.综上所述，4.高考资源网版权所有，侵权必究！