1、立体几何(5)12019广东潮州期末如图，在四棱锥EABCD中，ABCD，ABC90，CD2AB2CE4，DE2，点F为棱DE的中点(1)证明：AF平面BCE；(2)若BC4，BCE120，求三棱锥BCEF的体积解析：(1)取CE中点M，连接MF，MB.因为F为DE中点，所以MFCD，且MFCD.因为ABCD，且ABCD，所以ABMF且ABMF，所以四边形ABMF是平行四边形，所以AFBM.又BM平面BCE，AF平面BCE，所以AF平面BCE.(2)因为ABCD，ABC90，所以CDBC.因为CD4，CE2，DE2，所以CD2CE2DE2，所以CDCE.因为BCCEC，BC平面BCE，CE平面
2、BCE，所以CD平面BCE，则易知点F到平面BCE的距离为2.SBCEBCCEsinBCE42sin 1202，所以三棱锥BCEF的体积VBCEFVFBCESBCE222.22019清华自招如图，EA平面ABC，AECD，ABACCD2AE4，BC2，M为BD的中点(1)求证：平面AEM平面BCD；(2)求三棱锥EABM的体积解析：(1)如图所示，取BC的中点N，连接MN，AN，则MNDCAE，MNCDAE，所以四边形AEMN为平行四边形因为EA平面ABC，AN平面ABC，所以EAAN，所以四边形AEMN是矩形，所以EMMN.由题意可得EDEB2，因为M为BD的中点，所以EMBD.又EMMN，
3、BDMNM，所以EM平面BCD.因为EM平面AEM，所以平面AEM平面BCD.(2)由题可知，V三棱锥EABMV三棱锥MABE，因为MNAE，AE平面ABE，MN平面ABE，所以MN平面ABE，连接NE，则V三棱锥MABEV三棱锥NABEV三棱锥EABNSABNAE.易得BN，AN，所以SABNBNAN，所以V三棱锥EABM2.32019河南洛阳第一次统考如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABCD，PAD是等边三角形，已知AD2，BD2，AB2CD4.(1)设M是PC上一点，求证：平面MBD平面PAD.(2)求四棱锥PABCD的体积解析：(1)在ABD中，AD2，BD2，AB
4、4，所以AD2BD2AB2，所以ADBD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BD平面PAD.又BD平面MBD，所以平面MBD平面PAD.(2)如图所示，设AD的中点为O，则AO1，连接PO，易知PO是四棱锥PABCD的高，PO.又易得S梯形ABCD3，所以四棱锥PABCD的体积V33.42019四川雅安中学10月月考如图，四棱锥PABCD中，平面PAD底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，ABC45，ADAP2，ABDP2，E为CD的中点，点F在线段PB上(1)求证：ADPC.(2)当满足V三棱锥BEFCV四棱锥PABCD时，求的值解析：(1)连接AC.在ABC中，A
5、B2，BC2，ABC45，由余弦定理可得AC284222cos 454，所以AC2.易知ACB90，即BCAC，又ADBC，所以ADAC.在ADP中，ADAP2，DP2，易知PAAD.又APACA，所以AD平面PAC.因为PC平面PAC，所以ADPC.(2)因为E为CD的中点，所以SBECS平行四边形ABCD，因为平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PAAD，所以PA底面ABCD，设F到底面ABCD的距离为h.因为V三棱锥FBECV三棱锥BEFCV四棱锥PABCD，所以SBEChS平行四边形ABCDPA，所以h，则易得.52019重庆10月月考如图1，在等腰梯形ABCD中，M为
6、AB边的中点，ADBC，ABBCCD1，AD2，现在沿AC将ABC折起使点B落到点P处，得到如图2的三棱锥PACD.(1)在棱AD上是否存在一点N，使得PD平行于平面MNC？请证明你的结论；(2)当平面PAC平面ACD时，求点A到平面PCD的距离解析：(1)当N为AD的中点时，满足题意，证明如下：由M，N分别为AP，AD的中点，可得MN为APD的中位线，所以MNPD，又MN平面MNC，PD平面MNC，所以PD平行于平面MNC.(2)在等腰梯形ABCD中，由ADBC，ABBCCD1，AD2，易得D，AC，ACCD.因为ACCD，平面PAC平面ACD，AC为两平面交线，CD平面ACD，所以CD平面
7、PAC，又PC平面PAC，所以CDPC，所以SPCDPCCD11.方法一取AC的中点H，连接PH.由APPC，可知PHAC.又平面PAC平面ACD，AC为平面PAC与平面ACD的交线，所以PH平面ACD.由CHAC，PCBC1，利用勾股定理求得PH，所以V三棱锥PACDSACDPH1.设点A到平面PCD的距离为d，由V三棱锥APCDV三棱锥PACD可知，d.所以点A到平面PCD的距离为.方法二设点A到平面PCD的距离为d，则由V三棱锥DPACV三棱锥APCD，可得SPACCDSPCDd.在等腰三角形PAC中，SPACABBCsin，所以d，所以点A到平面PCD的距离为.62019安徽合肥六中二
8、模九章算术是我国古代数学专著，它在几何方面的研究比较深入例如：堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱；阳马是指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥在如图所示的堑堵ABCA1B1C1中，ACBC.(1)求证：四棱锥BA1ACC1为阳马并判断三棱锥A1CBC1是否为鳖臑，若是，请写出各个面中的直角(只写出结论)(2)若A1AAB2，当阳马BA1ACC1的体积最大时，求堑堵ABCA1B1C1的体积；求点C到平面A1BC1的距离解析：(1)由堑堵的定义知，A1A底面ABC，所以BCA1A，又BCAC，A1AACA，所以BC平面A1ACC1.由堑堵的定义知，四边形A1ACC1为矩形综上，可知四棱锥BA1ACC1为阳马三棱锥A1CBC1为鳖臑，四个面中的直角分别是A1CB，A1C1C，BCC1，A1C1B.(2)A1AAB2，由(1)易知阳马BA1ACC1的体积V阳马BA1ACC1S矩形A1ACC1BCA1AACBCACBC(AC2BC2)AB2，当且仅当ACBC时，阳马BA1ACC1的体积最大，最大值为.堑堵ABCA1B1C1的体积VSABCAA122.由题意知，V三棱锥CA1BC1V三棱锥BA1C1CV阳马BA1ACC1.设点C到平面A1BC1的距离为d，则SA1BC1d，又A1C1，BC1，所以d，解得d.故点C到平面A1BC1的距离为.