1、第2讲空间点、线、面的位置关系做高考真题明命题趋向做真题高考怎么考1(2019高考全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面解析：选B.若，则内有无数条直线与平行，反之则不成立；若，平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交；若，垂直于同一个平面，则与可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是的充要条件根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立因此B中条件是的充要条件故选B.2(2018高考全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，
2、则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.B.C. D.解析：选C.如图，连接BE，因为ABCD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE1，BC2，由勾股定理得BE.又由AB平面BCC1B1可得ABBE，所以tanEAB.故选C.3(2017高考全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC解析：选C.由正方体的性质，得A1B1BC1，B1CBC1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1，故选C.4(2019高考全国卷)
3、如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积解：(1)证明：由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6.如图，作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以四棱锥EBB1C1C的体积V36318.明考情备考如何学1以几何体为载体考查空间点、
4、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度中等2以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透研考点考向破重点难点考点1 空间线面位置关系的判断(基础型) 知识整合判断与空间位置关系有关的命题真假的方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断考法全练1已知是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，
5、则m，n的位置关系不可能是()A垂直B相交C异面 D平行解析：选D.因为是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m，n，所以n在平面内，m与平面相交，因为Am，A，所以A是m和平面相交的点，所以m和n异面或相交，一定不平行2(2019沈阳市质量监测(一)已知m，n是空间中的两条不同的直线，是空间中的两个不同的平面，则下列命题正确的是()A若mn，m，则nB若，m，则mC若mn，n，则mD若m，m，则解析：选D.对于选项A，mn，m，则n或n，A错；对于选项B，m，则m或m，B错；对于选项C，mn，n，不能推出m，C错；对于选项D，面面垂直的判定定理，正确故选D.3(2019高考北京卷)已知l
6、，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_解析：其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题命题(1)：若lm，m，则l，此命题不成立，可以举一个反例，例如在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面ABCD为平面，A1D1和A1B1分别为l和m，满足条件，但结论不成立命题(2)：若lm，l，则m，此命题正确证明：作直线m1m，且与l相交，故l与m1确定一个平面，且lm1，因为l，所以平面与平面相交，设n，则ln，又m1，n，所以m1n，又m1m，所以mn，又m在平面外，n，故m.命题(3)：若m，
7、l，则lm，此命题正确证明：过直线m作一平面，且与平面相交，交线为a，因为m，所以ma.因为l，a，所以la，又ma，所以lm.答案：若lm，l，则m(或若m，l，则lm，答案不唯一)考点2 空间几何体中的空间角(综合型) 知识整合1. 异面直线所成的角已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)2. 直线与平面所成的角直线与平面所成的角是直线和它在平面内的射影所成的角当直线和平面平行时，称直线和平面成0角，当直线和平面垂直时，称直线和平面成90角典型例题 (2019湖南省五市十校联考)已知E，F分别是三棱锥PA
8、BC的棱AP，BC的中点，AB6，PC6，EF3，则异面直线AB与PC所成的角为()A120B45C30 D60【解析】设AC的中点为G，连接GF，EG，因为E，F分别是三棱锥PABC的棱AP，BC的中点，PC6，AB6，所以EGPC，GFAB，EG3，GF3，在EFG中，EF3，所以cosEGF，所以EGF120，所以异面直线AB与PC所成的角为60.【答案】D 规律方法求空间角的一般步骤(1)找出或作出有关的平面角(2)证明它符合定义(3)归到某一三角形中进行计算，为了便于记忆，可总结口诀：“一作、二证、三计算” 对点训练1(2018高考全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，
9、SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_解析：由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高设圆锥的母线长为l，则由SASB，SAB的面积为8，得l28，得l4.在RtASO中，由题意知SAO30，所以SOl2，AOl2.故该圆锥的体积VAO2SO(2)228.答案：82(2019福州市质量检测)已知长方体ABCDA1B1C1D1的外接球体积为，且AA1BC2，则A1C与平面BB1C1C所成的角为_解析：如图，设长方体ABCDA1B1C1D1的外接球半径为R，则长方体ABCDA1B1C1D1的外接球体积为R3，所以R2，即A1C2R4.因为A
10、A1BC2，所以AB2.连接B1C，因为A1B1平面BB1C1C，所以A1C与平面BB1C1C所成的角为A1CB1，在RtBB1C中，BB1BC2，所以B1C2A1B1，所以A1CB1.即A1C与平面BB1C1C所成的角为.答案：考点3 空间平行、垂直关系的证明(综合型) 知识整合1. 直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.2. 直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质
11、定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，al a.典型例题 (2019高考全国卷)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离【解】(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MNED.又MN平面C1DE，所以MN平面C1D
12、E.(2)过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE平面C1CE，故DECH.从而CH平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离由已知可得CE1，C1C4，所以C1E，故CH.从而点C到平面C1DE的距离为. 规律方法平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化 对点训练1.(2019昆明市诊断测试)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD平面ABCD，ADBD6，AB6，E是棱PC上的一点(1)证明：BC平面PBD；(2)若PA平面BDE，求的值解：(
13、1)证明：由已知条件可知AD2BD2AB2，所以ADBD.因为PD平面ABCD，所以PDAD.又PDBDD，所以AD平面PBD.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BCAD，所以BC平面PBD.(2)连接AC交BD于F，连接EF，则EF是平面PAC与平面BDE的交线因为PA平面BDE，所以PAEF.因为F是AC的中点，所以E是PC的中点，所以.2(2019广东省七校联考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAAB2，E是AB的中点，G是PD的中点(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)求证：AG平面PEC；(3)求证：平面PCD平面PEC.解：(1)易知V四棱
14、锥PABCDS正方形ABCDPA222.(2)证明：如图，取PC的中点F，连接EF和FG，则易得AEFG，且AECDFG，所以四边形AEFG为平行四边形，所以EFAG.因为EF平面PEC，AG平面PEC，所以AG平面PEC.(3)证明：易知CDAD，CDPA，因为PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，所以CD平面PAD.又AG平面PAD，所以CDAG.易知PDAG，因为PDCDD，PD平面PCD，CD平面PCD，所以AG平面PCD，所以EF平面PCD.又EF平面PEC，所以平面PEC平面PCD.考点4 空间中的折叠问题和探索性问题(综合型) 典型例题 (2019高考全国卷)图1是由矩形A
15、DEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积【解】(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)如图，取CG的中点M，连接EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四边形BCGE是菱形
16、，且EBC60得EMCG，故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四边形ACGD的面积为4. 规律方法(1)求解平面图形折叠问题的关键和方法关键：分清翻折前后位置关系和数量关系哪些改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，尤其是垂直关系，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口方法：把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何何体中解决(2)探索性问题求解的途径和方法对命题条件探索的三种途径i先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明ii.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性iii.将几何问题转
17、化为代数问题，探索出命题成立的条件对命题结论的探索方法从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论 对点训练(2019郑州市第二次质量预测)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD，PAD是等边三角形，F为AD的中点，PDBF.(1)求证：ADPB.(2)若E在线段BC上，且ECBC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由解：(1)证明：连接PF，因为PAD是等边三角形，所以PFAD.因为底面ABCD是菱形，BAD，所以BFAD.又PFBF
18、F，所以AD平面BFP，又PB平面BFP，所以ADPB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD.由(1)知ADBF，因为PDBF，ADPDD，所以BF平面PAD.又BF平面ABCD，所以平面ABCD平面PAD，又平面ABCD平面PADAD，且PFAD，所以PF平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HGPF交PC于G，所以GH平面ABCD.又GH平面DEG，所以平面DEG平面ABCD.因为ADBC，所以DFHECH，所以，所以，所以GHPF，所以VDCEGVGCDESCDEGHDCCEsinGH.练典型习题提数学素养一、选择题1已知m，n，l1，l2表示直线，表示平面若m，n
19、，l1，l2，l1l2M，则的一个充分条件是()Am且l1Bm且nCm且nl2 Dml1且nl2解析：选D.由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”知，由选项D可推知.2设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m解析：选C.对A，若mn，n，则m或m或m与相交，错误；对B，若m，则m或m或m与相交，错误；对C，若m，n，n，则m，正确；对D，若mn，n，则m与相交或m或m，错误故选C.3(2019长春市质量监测(一)在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1C1与平面ABC1D1
20、所成角的正弦值为()A1 B.C. D.解析：选D.由题意画出图形如图所示，取AD1的中点为O，连接OC1，OA1，易知OA1平面ABC1D1，所以A1C1O是直线A1C1与平面ABC1D1所成的角，在RtOA1C1中，A1C12OA1，所以sinA1C1O.故选D.4(2019高考全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线解析：选B.如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD
21、，FN，因为CDE是正三角形，所以EFCD.设CD2，则EF.因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD2，NF1，BCCD.因为平面ECD平面ABCD，所以EF平面ABCD，BC平面ECD，所以EFNF，BCEC，所以在RtEFN中，EN2，在RtBCE中，EB2，所以在等腰三角形BDE中，BM，所以BMEN.易知BM，EN是相交直线故选B.5在四面体ABCD中，ABAD，ABADBCCD1，且平面ABD平面BCD，M为AB的中点，则线段CM的长为()A. B.C. D.解析：选C.如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，因为ABADBCCD1，所以OABD，OCBD.又平面ABD平面BCD
22、，所以OA平面BCD，OAOC.又ABAD，所以DB，取OB的中点N，连接MN，CN，所以MNOA，MN平面BCD，所以MNCN.所以CM.6如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC解析：选D.因为在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，
23、ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，所以平面ADC平面ABC.二、填空题7已知直线l平面，直线m平面，则下列四个命题：lm；lm；lm；lm.其中正确命题的序号是_解析：直线l平面，直线m平面，当有lm，故正确当有lm或l与m异面或相交，故不正确当lm有，故正确当lm有或与相交，故不正确综上可知正确答案：8(2019成都第一次诊断性检测)在各棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为_解析：如图，取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1MPB，则PBN
24、为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为2，则PN，PB，BN，所以PN2BN2PB2，所以PNB90，在RtPBN中，tanPBN.答案：9.如图，在ABC中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面ABC，PC4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为_解析：作CHAB于点H，连接PH.因为PC平面ABC，所以PHAB，即PH为PM的最小值在ABC中，因为ACB90，AB8，ABC60，所以BC4，所以CH2.因为PC4，所以PH2.答案：2三、解答题10如图，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，PA2，AB1.设M，N分别为PD，
25、AD的中点(1)求证：平面CMN平面PAB；(2)求三棱锥PABM的体积解：(1)证明：因为M，N分别为PD，AD的中点，所以MNPA，又MN平面PAB，PA平面PAB，所以MN平面PAB.在RtACD中，CAD60，CNAN，所以ACN60.又BAC60，所以CNAB.因为CN平面PAB，AB平面PAB，所以CN平面PAB.又CNMNN，所以平面CMN平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN平面PAB，所以点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离因为AB1，ABC90，BAC60，所以BC，所以三棱锥PABM的体积VVMPABVCPABVPABC12.11.(2019高考北京卷)如图
26、，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由解：(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PABD.又因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.所以BD平面PAC.(2)证明：因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD.所以ABAE.所以AE平面PAB.所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在点F，使得CF平面PAE.取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接C
27、F，FG，EG.则FGAB，且FGAB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE.所以CF平面PAE.12(2019东北四市联合体模拟(一)如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E为CD的中点，将ADE沿AE折到APE的位置(1)证明：AEPB；(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，因为ABCE，ABCE，所以四边形ABCE为平行四边形，所以AEBCADDE，所以ADE为等边三角形，所以在等腰梯形ABCD中，CADE，BDBC，所以BDAE.如图，翻折后可得，OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOBO，所以AE平面POB，因为PB平面POB，所以AEPB.(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，平面PAE平面ABCE.又平面PAE平面ABCEAE，PO平面PAE，POAE，所以OP平面ABCE.因为OPOB，所以PB，因为APAB1，所以SPAB ，连接AC，则VPABCOPSABC，设点C到平面PAB的距离为d，因为VPABCVCPABSPABd，所以d.