1、课时素养评价三十一对数函数及其性质的应用(15分钟30分)1.(2020成都高一检测)已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2)=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由函数y=f(x)=log2x,得x=2y,把x与y互换,可得y=2x,即g(x)=2x,所以g(2)=22=4,则f(g(2)=f(4)=log24=2.2.已知a=21.1,b=log23,c=,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.acbC.bacD.bca【解析】选A.21.12,=.又2log23log2=log2=,所以abc.3.函数f(x)=2+log6(6x+1),x
2、R的值域为()A.(0,1B.(0,+)C.1,+)D.(2,+)【解析】选D.因为6x+11,所以log6(6x+1)0,故f(x)=2+log6(6x+1)2.4.(2020南昌高一检测)已知函数f(x)=log2(-x2+6x+7)的值域记为集合A,函数g(x)=的值域为B,则有()A.BRAB.ARBC.ABD.BA【解析】选D.令t=-x2+6x+7,t0,当x=3时,tmax=-32+63+7=16,此时f(x)max=log216=4,所以函数f(x)=log2(-x2+6x+7)的值域为:A=(-,4,在函数g(x)=中,可得:016-x216,所以函数g(x)=的值域为:B=
3、0,4,所以BA.5.函数f(x)=loga(x2-ax+2)在区间(1,+)上恒为正值,则实数a的取值范围是_.【解析】因为函数f(x)=loga(x2-ax+2)在区间(1,+)上恒为正值,当0a0=loga1,即0x2-ax+21时,loga(x2-ax+2)0=loga1,即x2-ax+21在区间(1,+)上恒成立,即a0且a1)在区间(a-2,a)上单调递减,则a的取值范围为_.【解析】因为函数在区间(a-2,a)上单调递减,所以解得1a.答案:a|10,a1).(1)当a=10时,求f(x)的值域和单调递减区间;(2)若f(x)存在单调递增区间,求a的取值范围.【解析】(1)当a=
4、10时,f(x)=log10(-x2+10x-9)=log10(-(x-5)2+16,设t=-x2+10x-9=-(x-5)2+16,由-x2+10x-90,得x2-10x+90,得1x0有解,所以判别式=a2-360,得a6或a0,a1,所以a6,综上实数a的取值范围是a6. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知ab,函数f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=logb(x+a)的图象可能是()【解析】选B.由题图可知0a10,解得x2,令t=x2-3x+2,因为t=x2-3x+2的图象开口向上,对称轴方程为x=,所以内层函数t=x2-3x+2在
5、(2,+)上单调递增,外层函数y=lot是减函数,所以由复合函数单调性的性质可知函数y=lo(x2-3x+2)的单调递减区间为(2,+).二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则()A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)在(0,10)上单调递增D.f(x)在(0,10)上单调递减【解析】选B、D.由得x(-10,10),故函数f(x)的定义域为(-10,10),关于原点对称,又由f(-x)=lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,而f(x)=lg(1
6、0+x)+lg(10-x)=lg(100-x2),y=100-x2在(0,10)上递减,y=lg x在(0,10)上递增,故函数f(x)在(0,10)上递减.6.关于函数f(x)=lg(x0),有下列结论,其中正确的是()A.其图象关于y轴对称B.f(x)的最小值是lg 2C.当x0时,f(x)是增函数;当x0时,t=x+,根据对勾函数的图象可得,t=x+单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+),y=lg t在(0,+)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,选项C错误;根据偶函数的对称性,f(x)在(-,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,f
7、(x)的增区间是(-1,0),(1,+),选项D正确.【补偿训练】已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论错误的是()A.abB.abC.g(a)00f(b)【解析】选AD.因为函数y=ex,y=ln x,y=x-2都是增函数,所以f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2都是增函数,又f(0)=e0+0-2=-10,所以0a1,g(1)=ln 1+1-2=-10,所以1b2,所以0a1b2,故A错误,B正确;因为ab,所以g(a)g(b)=0,f(a)0,所以g(a)0f(b),故C正确,D错误.三、填空题(每小题5分,共10分
8、)7.(2020永济高一检测)已知函数f(x)=log2(2x)log4(2x),x,则f(x)的最小值为_.【解析】由题可得将函数化简为f(x)=(log2x+1)2,设log2x=t,则y=(t+1)2,因为x,所以t-2,2.根据二次函数的性质得到:当t=-1时,y取得最小值0,故f(x)的最小值为0.答案:08.已知定义域为R的偶函数f(x)在0,+)上是递增的,且f=0,则不等式f(log4x)0的解集是_.【解析】由题意可知,由f(log4x)0,得-log4x,即log4log4xlog4,得x0,a1),且f(0)=2.(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.(2)求函数f(
9、x)在区间0,上的最小值.【解析】(1)由题意,f(0)=loga3+loga3=2loga3=2,所以a=3,所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),所以解得-3x3,所以f(x)的定义域是(-3,3).(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)=log3(3+x)(3-x)=log3(9-x2)且x(-3,3),所以当x=时,f(x)在区间0,上取得最小值,f(x)min=log33=1.1.(2020日照高一检测)已知函数f(x)=1+2lg x,则f(1)+f-1(1)=()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据题意f(1)=1+2lg 1=1,若f(
10、x)=1+2lg x=1,解可得x=1,则f-1(1)=1,故f(1)+f-1(1)=1+1=2.2.已知函数f(x)=2x的反函数为f-1(x)(1)若f-1(x)-f-1(1-x)=1,求实数x的值;(2)若关于x的方程f(x)+f(1-x)-m=0在区间1,2内有解,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意可得:f-1(x)=log2x,所以log2x-log2(1-x)=1log2=log22,所以=2x=.(2)由f(x)+f(1-x)-m=0可得:m=2x+,令t=2x2,4,所以m=t+,所以当t2,4时,函数m=t+为增函数,所以函数的最小值为3,最大值为,所以实数m的取值范围为.
