1、【高频考点解读】1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义【热点题型】题型一 平面向量的有关概念【例1】 给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是()A B C D【提分秘籍】 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与
2、起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量【举一反三】 给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若a0 (为实数)，则必为零；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为()A1 B2 C3 D4解析错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当a0时，不论为何值，a0.错误当0时，ab，此时，a与b可以是任意向量答案C题型二 平面向量的线
3、性运算【例2】 (1)在ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()A.ab B.abC.ab D.ab(2)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_解析(1)ab0，ACB90，AB，CD，BD，AD，ADBD41.()ab.(2)因为ABCD为平行四边形，所以2，已知，故2.答案(1)D(2)2【提分秘籍】 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果【举一反三】 (1)如图所示，已知AB
4、是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()Aab B.abCab D.ab(2)如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.0B.0C.0D.0解析(1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且a，所以ba.(2)由题意知：，而0，0.答案(1)D(2)A题型三 共线向量定理的应用【例3】 设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线【提分秘籍】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三
5、点共线(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线 【举一反三】 (1)已知向量i与j不共线，且imj，nij.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1(2)如图，经过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，则的值为_解析(1)由A，B，D共线可设，于是有imj(nij)nij.又i，j不共线，因此即有mn1.(2)设a，b，由题意知()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三点共线得，存在实数，使得，即nbmaab，从而消去得3.答案(
6、1)C(2)3【高考风向标】1.【2015高考安徽，文15】是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）为单位向量；为单位向量；。 【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2,22,故正确； ，故错误，正确；由于夹角为，故错误；又，故正确 因此，正确的编号是1（2014辽宁卷）设a，b，c是非零向量，已知命题p：若ab0，bc0，则ac0，命题q：若ab，bc，则ac，则下列命题中真命题是()Apq Bpq C(綈p)(綈q) Dp(綈q)【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b0时，a，c一定共线，故命题q是真命
7、题故pq为真命题2（2014新课标全国卷 已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_【答案】90【解析】由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90.3（2014四川卷）平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A2 B1C1 D2【答案】2【解析】cmab(m4，2m2)，由题意知，即，即5m8，解得m2.4（2013江苏卷）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_【答案】【解析】如图所示，()，又12，且与不
8、共线，所以1，2，即12.5（2013陕西卷）设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知中|ab|a|b|可得，a与b同向或反向，所以ab.又因为由ab，可得|cosa，b|1，故|ab|a|b|cosa，b|a|b|，故|ab|a|b|是ab的充分必要条件6（2013四川卷） 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cos Bsin (AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4 ，b5，求向量在方向上的投影【解析】(1)由2cos2cos B
9、sin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cosBsin(AB)sinBcosB，即cos(AB)cosBsin(AB)sinB，则cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4 )252c225c，解得c1或c7(舍去)，故向量在方向上的投影为|cosB.7（2013四川卷）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_【答案】2【解析】根据向量运算法则，2，故2.8（2013重庆卷）在平面上，|OB1|1，.若|，则|的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1P
10、B2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图设|AB1|a，|AB2|b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，由|1得则又由|，得(xa)2(yb)2，则1x21y2，即x2y2.又(xa)2y21，得x2y2a212ax1a2x2，则y21；同理由x2(yb)21，得x21，即有x2y22.由知x2y22，所以.而|，所以|，故选D.【高考押题】 1把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是 ()A一条线段 B一段圆弧 C两个孤立点 D一个圆 解析由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点
11、的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆答案D2设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是()Aa与a的方向相反 Ba与2a的方向相同C|a|a| D|a|a解析对于A，当0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反，B正确；对于C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定；对于D，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小答案B3设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|解析表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有，观察选项易知C满足题意答案C4在ABC中，2，a，
12、b，c，则下列等式成立的是 ()Ac2ba Bc2abCc Dc解析依题意得2()，ba，故选D.答案D5在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为()A. B. C. D1 解析M为BC上任意一点，可设x y (xy1)N为AM的中点，x y ，(xy).答案A6向量e1，e2不共线，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，给出下列结论：A，B，C共线；A，B，D共线；B，C，D共线；A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为_解析由4e12e22，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上答案7在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析由3，得43 3(ab)，ab，所以(ab)ab.答案ab8设a，b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为_解析2ab，又A，B，D三点共线，存在实数，使，即p1.答案19已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，问是否存在这样的实数，使向量dab与c共线？10.在ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设a，b，试用a，b表示.解()()(1)(1)ab.又m ()(1m)a(1m)b，解得m，ab.