1、江苏省徐州市2021届高三第三次调研测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知全集U，集合M，N是U的子集且MN，则下列结论中一定正确的是A(M)(N)U BM(N)CM(N)U D(M)N2清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为A B C D3已知，是复数，下列结论错误的是A若，则 B若，则
2、C若，则 D若，则4函数(x，0)(0，)的大致图象为 A B C D5我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是A小寒比大寒的晷长长一尺 B春分和秋分两个节气的晷长相同C小雪的晷长为一丈五寸 D立春的晷长比立秋的晷长长 6某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 A2 B C D17
3、抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点M(1，1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是A的最小值是2 B动点P到点H(3，0)的距离最小值为3C存在直线l，使得A，B两点关于直线xy30对称D与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点，则点N在抛物线C的准线上8已知函数是定义在区间(0，)上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是 A B C D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9设正实数a，b满足ab1，则 A B C
4、 D10已知，则A展开式中所有项的二项式系数和为 B展开式中所有奇次项系数和为C展开式中所有偶次项系数和为 D11半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则ABF平面EABB该二十四等边体的体积为C该二十四等边体外接球的表面积为DPN与平面EBFN所成角的正弦值为12已知函数，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是A在(0，)是增函数B是奇函数C在(0，)上有两个极值点D设，则满足
5、的正整数n的最小值是2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13由图，在平面四边形ABCD中，已知AD3，BC4，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为 14为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为(k1，2)已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.2
6、5，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍（结果精确到0.01，当较小时，）15已知双曲线E：(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点若ABF2的内切圆与边AB、BF2、AF2分别相切于点M、N、P，且AP的长为4，则a的值为 16在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生 表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评设随机变量XB(n，p)，记，k0，1，2，n在研究的最大值时，小组同学发现：若(n1)p为正整数，则k(n1)p时，此时这两项概率均为最大值；若(n1)p为非整数，当k取(n1)p的
7、整数部分，则是唯一的最大值以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为 的概率最大四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且，（1）求sin(AC)和边长a；（2）当取最小值时，求ABC的面积18（本小题满分12分）数列中，且(n)，其中为的前n项和（1）求的通项公式；（2）证明：(n)19（本小题满分12分）
8、在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线（1）求证：FO1平面ADE；（2）若BCFC2，求二面角BAFC的余弦值20（本小题满分12分）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修（1）当n2，时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；（2）为提高系统G正常工作的概
9、率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？21（本小题满分12分）某城市决定在夹角为30的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的公园，如图所示，AB2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45，交OD于G（1）若OE3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；（2）若椭圆的离心率为，当线段OG长为何值时，游乐区域OMN的面积最大？22（本小题满分
10、12分）已知函数(aR)（1）讨论函数的极值点的个数；（2）已知函数有两个不同的零点，且证明：江苏省徐州市2021届高三第三次调研测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知全集U，集合M，N是U的子集且MN，则下列结论中一定正确的是A(M)(N)U BM(N)CM(N)U D(M)N答案：B解析：本题可以通过画韦恩图的方法进行判断，B正确2清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人
11、，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为A B C D答案：D解析：设高二年级3人相邻为事件A，高一年级2人不相邻为事件B， 3已知，是复数，下列结论错误的是A若，则 B若，则C若，则 D若，则答案：D解析：取，则，故D错误4函数(x，0)(0，)的大致图象为 A B C D答案：A解析：首先判断该函数是偶函数，排除B、D，当x(0，排除C，故选A5我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，
12、周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是A小寒比大寒的晷长长一尺 B春分和秋分两个节气的晷长相同C小雪的晷长为一丈五寸 D立春的晷长比立秋的晷长长 答案：C解析：小雪的晷长为一丈一尺五寸，故C错误6某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 A2 B C D1答案：A解析：取截面为SMN，P为MN的中点，设OPx(0x，SB2，OB，所以SO1，SP，MN，故SSMNMNSP，所以当x1时，SSMN2，此时的截面面积最大7抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点M(1，1)，直线l与
13、抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是A的最小值是2B动点P到点H(3，0)的距离最小值为3C存在直线l，使得A，B两点关于直线xy30对称D与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点，则点N在抛物线C的准线上答案：A解析：作PQ直线x1，垂足为Q，则PMPFPMPQ，当P、Q、M三点共线，且MQ直线x1时，的最小值是2，故A正确，本题选A8已知函数是定义在区间(0，)上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是 A B C D答案：C解析：令，则在(0，)上单调递减，有，接下来证明，即证明，即可判断C正确二、多项选择题（本大题共4小题，每
14、小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9设正实数a，b满足ab1，则 A B C D答案：BD解析：，A错误，C错误，其他选项都正确，选BD10已知，则A展开式中所有项的二项式系数和为 B展开式中所有奇次项系数和为C展开式中所有偶次项系数和为 D答案：ACD解析：展开式中所有奇次项系数和为，B错误，其他选项都正确，选ACD11半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六
15、个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则ABF平面EABB该二十四等边体的体积为C该二十四等边体外接球的表面积为DPN与平面EBFN所成角的正弦值为答案：BCD解析：BF与AE所成角是60，故A错，其他选项均正确，选BCD12已知函数，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是A在(0，)是增函数B是奇函数C在(0，)上有两个极值点D设，则满足的正整数n的最小值是2答案：ABD解析：在(0，)上有一个极值点，故选项C错误，其他选项均正确，选ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13由图，在平面四边形ABCD中，已知AD3，BC4，E，
16、F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为 答案：解析：14为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为(k1，2)已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍（结果精确到0.01，当较小时，）答案：1.26解析：15已知双曲线E：(a0，b0)的左、右焦点分别为F
17、1、F2，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点若ABF2的内切圆与边AB、BF2、AF2分别相切于点M、N、P，且AP的长为4，则a的值为 答案：2解析：，两式相加得ABAMBM4a，所以84a，a216在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生 表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评设随机变量XB(n，p)，记，k0，1，2，n在研究的最大值时，小组同学发现：若(n1)p为正整数，则k(n1)p时，此时这两项概率均为最大值；若(n1)p为非整数，当k取(n1)p的整数部分，则是唯一的最大值以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的
18、骰子并实时记录点数1出现的次数当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为 的概率最大答案：18解析：13.5，取13，13518四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且，（1）求sin(AC)和边长a；（2）当取最小值时，求ABC的面积解：（1）由正弦定理及与得：，（R是ABC的外接圆半径），两式相除，得，设，因为B是ABC的内角， ，将代入，得， ；（2）由（1）及余弦定理知，
19、当且仅当时，取得最小值，18（本小题满分12分）数列中，且(n)，其中为的前n项和（1）求的通项公式；（2）证明：(n)解：（1）由，取，有，得，当时，两式相减得，即， 两式再相减得，即，为等差数列，又，则；（2）要证，即证， 故(n)19（本小题满分12分）在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线（1）求证：FO1平面ADE；（2）若BCFC2，求二面角BAFC的余弦值解：（1）证明：连接，因为EA，FC，都是圆柱的母线，所以，因为C，D是的两个三等分点，AB为圆的直径， 所以，又因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面A
20、DE； （2）连接AC，因为AB为圆的直径，所以ACBC，又因为CF平面ABC，所以CFCB，CFAC，所以CA、CB、CF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下：， ， 设平面ABF的法向量为， ，令x1，则， 平面ACF的法向量为， 所以二面角BAFC的余弦值为20（本小题满分12分）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修（1）当n2，时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为
21、500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？解：（1）当时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，设X为该电子产品需要维修的系统个数，则，的分布列为：；（2）记2k1个元件组成的系统正常工作的概率为，2k1个元件中有i个正常工作的概率为，因此系统工常工作的概率，在2k1个元件组成的系统中增加两个元件得到2k1个元件组成的系统，则新
22、系统正常工作可分为下列情形：a原系统中至少有k1个元件正常工作，概率为；b原系统中恰有k个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，概率为；c原系统中恰有k1个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，概率为，故当时，单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性21（本小题满分12分）某城市决定在夹角为30的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的公园，如图所示，AB2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45，交OD于G（1）若OE3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；（2）若椭圆
23、的离心率为，当线段OG长为何值时，游乐区域OMN的面积最大？解：（1）以O为坐标原点，以OD所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意A(0，1)，E(3，0)，由OEF30，所以， 所以，所以直线EF的方程为：，设，则，所以椭圆，当a最大时直线EF与椭圆相切，整理可得：，解得舍)所以椭圆的长半轴长为； （2）因为， 所以， 所以椭圆的方程为：； 设，则，直线MN的方程为：， 联立，整理可得：， 设则， ， 要保证MN与半椭圆有交点，当N位于B时， 所以，当，即， 有最大值为1， 综上所述，当时，OMN的面积最大22（本小题满分12分）已知函数(aR)（1）讨论函数的极
24、值点的个数；（2）已知函数有两个不同的零点，且证明：解：（1）函数，故的定义域为，则 ，令，则， 当时，则单调递增， 当时，则单调递减， 所以当时，取得最大值， 当时，则，所以在上单调递减，此时无极值点； 当时，因为，所以在上有且只有一个零点， 所以在上有且只有一个极值点，又所以在上有且只有一个零点，所以在上有且只有一个极值点综上所述，当时，无极值点；当时，有2个极值点 （2）证明：函数， 则， 当时，则单调递减， 当1时，则单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为函数有两个不同的零点且 所以，即所以 又， 令则 令则所以单调递增，所以， 所以，所以单调递增，所以， 所以，所以， 令，则，当时，则单调递增，当1时，则单调递减，所以当时，取到最大值为， 所以，即， 所以， 令，则，所以，所以