1、2.2复数的乘法与除法明目标、知重点1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念1复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z33.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示即zabi，则abi.4复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0
2、)，则i.情境导学我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？探究点一复数乘除法的运算思考1怎样进行复数的乘法？答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可思考2复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1.例 1计算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(3)(1i)2.解(1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(2)(34i)(34i)32(4i)29(16)25；(3)(1i)2
3、12ii22i.反思与感悟复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等跟踪训练1计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i)2.解(1)(2i)(2i)4i24(1)5；(2)(12i)214i(2i)214i4i234i.思考3如何理解复数的除法运算法则？答复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)例 2计算：(1)；(2)()6.解(1)原式；(2)方法一原式6i61i.方法二(技巧解法)原式6i61i.反思与感悟复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复
4、数跟踪训练2计算：(1)；(2).解(1)1i.(2)13i.探究点二共轭复数及其应用思考1像34i和34i这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？答一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数通常记复数z的共轭复数为.虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数思考2复数abi的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？答复数abi的共轭复数可表示为abi，由于 (abi)(abi)a2b2 ，所以两个共轭复数之积为实数思考3共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它
5、本身，即zzR，利用这个性质可证明一个复数为实数(3)若z0且z0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数思考4z与|z|2和|2有什么关系？答z|z|2|2.例 3已知复数z满足|z|1，且(34i)z是纯虚数，求z的共轭复数.解设zabi(a，bR)，则abi且|z|1，即a2b21.因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i，而(34i)z是纯虚数，所以3a4b0，且3b4a0.由联立，解得或所以i，或i.反思与感悟本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点跟踪训练3已知复数z满足：z2iz86i，求复数z的实部与虚部的和解设zabi(
6、a，bR)，则za2b2，a2b22i(abi)86i，即a2b22b2ai86i，解得，ab4，复数z的实部与虚部的和是4.1设复数z满足iz1，其中i为虚数单位，则z等于()Ai Bi C1 D1答案A解析zi.2已知集合M1,2，zi，i为虚数单位，N3,4，MN4，则复数z等于()A2i B2i C4i D4i答案C解析由MN4得zi4，z4i.3复数等于()Ai BiCi Di答案A4复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析因为z，故复数z对应的点在第四象限，选D.呈重点、现规律1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数
7、形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化一、基础过关1复数i等于()A2i B.iC0 D2i答案A解析ii2i，选A.2i为虚数单位，等于()A0 B2iC2i D4i答案A解析i，i，i，i，0.3若a，bR，i为虚数单位，且(ai)ibi，则(
8、)Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案D解析(ai)i1aibi，.4在复平面内，复数(1i)2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析(1i)2i(22i)(2)i，对应点(，2)在第二象限5设复数z的共轭复数是，若复数z134i，z2ti，且z1是实数，则实数t_.答案解析z2ti，ti.z1(34i)(ti)3t4(4t3)i，又z1R，4t30，t.6若z，则复数_.答案2i解析z2i，2i.7计算：(1)()2 010；(2)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)解(1)()2 010() 1 005i(1i)()1 0051i
9、(i)1 0051ii1.(2)原式(4i)(62i)(7i)(43i)2214i2525i4739i.二、能力提升8设复数z满足(1i)z2i，则z等于()A1i B1iC1i D1i答案A解析由已知得z1i.9.复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A2i B2iC5i D5i答案D解析由(z3)(2i)5得，z32i，z5i，5i.10设复数i满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_答案1解析由i(z1)32i得到z123i113i.11已知复数z满足(12i)z43i，求z及.解因为(12i)z43i，所以z2i，故2i.所以i.12.已知复数z的共轭复数为，且z3iz，求z.解zabi(a，bR)，则abi.又z3iz，a2b23i(abi)，a2b23b3ai13i，或.z1，或z13i.三、探究与拓展13.已知1i是方程x2bxc0的一个根(b、c为实数)(1)求b，c的值；(2)试说明1i也是方程的根吗？解(1)1i是方程x2bxc0的根，(1i)2b(1i)c0，即(bc)(2b)i0.，得.b2，c2.(2)方程为x22x20.把1i代入方程左边得(1i)22(1i)20，显然方程成立，1i也是方程的一个根