1、练典型习题提数学素养1已知曲线C的极坐标方程是2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C，过点F(，0)作倾斜角为60的直线交曲线C于A，B两点，求|FA|FB|.解：(1)直线l的普通方程为2xy20，曲线C的直角坐标方程为x2y24.(2)因为所以C的直角坐标方程为y21.易知直线AB的参数方程为(t为参数)将直线AB的参数方程代入曲线C：y21，得t2t10，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，所以|FA|FB|t1t2|.2(2019郑州市第一次
2、质量预测)已知曲线C1：x2(y3)29，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线(0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(4，0)，求MPQ的面积解：(1)曲线C1：x2(y3)29，把代入可得，曲线C1的极坐标方程为6sin .设B(，)，则A，则6sin()6cos .所以曲线C2的极坐标方程为6cos .(2)M到直线的距离为d4sin2，射线与曲线C1的交点P，射线与曲线C2的交点Q，所以|PQ|33，故MPQ的面积S|P
3、Q|d33.3(2019河北省九校第二次联考)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：sin2 2acos (a0)，过点P(2，4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值解：(1)把代入sin22acos ，得y22ax(a0)，由(t为参数)，消去t得xy20，所以曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y22ax(a0)，xy20.(2)将(t为参数)代入y22ax，整理得t22(4a)t8(4a)0.设t1，t2是该方程的两根，则t1
4、t22(4a)，t1t28(4a)，由题意知，|MN|2|PM|PN|，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2，所以8(4a)248(4a)8(4a)，所以a1.4在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；(2)已知射线l1：，将射线l1顺时针旋转得到射线l2：，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|QQ|的最大值解：(1)曲线C1的直角坐标方程为(x2)2y24，所以C1的极坐标方程为4cos ，曲线C2的直角坐标
5、方程为x2(y2)24，所以C2的极坐标方程为4sin .(2)设点P的极坐标为(1，)，即14cos ，点Q的极坐标为，即24sin，则|OP|OQ|124cos 4sin16cos 8sin4.因为，所以2.当2，即时，|OP|OQ|取最大值4.5(2019石家庄市质量检测)已知曲线C1的极坐标方程为4cos ，以极点O为直角坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，将曲线C1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到曲线C2.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)已知直线l的参数方程为(t为参数)，点Q为曲线C2上的动点，求点
6、Q到直线l距离的最大值解：(1)由4cos 得24cos ，所以曲线C1的直角坐标方程为(x2)2y24.设曲线C1上任意一点的坐标为(x，y)，变换后对应的点的坐标为(x，y)，则即代入曲线C1的直角坐标方程(x2)2y24中，整理得x21，所以曲线C2的直角坐标方程为x21.(2)设Q(cos 1，2sin 1)，由直线l的参数方程得直线l的普通方程为3x2y80，则Q到直线l的距离d，当cos(1)1时，d取得最大值，为，所以点Q到直线l距离的最大值为.6(2019洛阳尖子生第二次联考)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C1的极坐
7、标方程为2cos .(1)若曲线C2的参数方程为(为参数)，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为(t为参数)，A(0，1)，且曲线C1与曲线C2的交点分别为P，Q，求的取值范围解：(1)2cos ，则22cos .因为2x2y2，xcos ，所以曲线C1的直角坐标方程为x2y22x0.将曲线C2的参数方程消去参数，可得曲线C2的普通方程为x2(y1)2t2.(2)将C2的参数方程(t为参数)代入C1的方程x2y22x0得，t2(2sin 2cos )t10.因为(2sin 2cos )248sin240，所以sin2，所以.设P，Q对应的参数分别为t1，t2则t1t2(2sin 2cos )2sin，t1t21.因为t1t210，所以t1，t2同号，所以|t1|t2|t1t2|.由t的几何意义可得|t1t2|2，所以(2，2