1、第1讲坐标系与参数方程做高考真题明命题趋向做真题高考怎么考1(2019高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解：(1)因为11，且x21，所以C的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，)C上的点到l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.2(2019高考全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：
2、4sin 上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解：(1)因为M(0，0)在曲线C上，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设Q(，)为l上除P的任意一点连接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ，.明考情备考如何学1坐标系与参数方程是高考
3、的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用研考点考向破重点难点考点1 极坐标方程及其应用(综合型) 知识整合1极坐标与直角坐标的互化方法点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式2.圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r，则圆的方程为：220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：r.(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：2acos .(3)当圆心位于M(a，)，半径为a：2asin .
4、3直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：0和0.(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：cos a.(3)直线过点M(b，)且平行于极轴：sin b. 典型例题 (2019高考全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1，0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标【解】(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标
5、方程分别为2cos ，2sin ，2cos .所以M1的极坐标方程为2cos ，M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2cos .(2)设P(，)，由题设及(1)知：若0，则2cos ，解得；若，则2sin ，解得或；若，则2cos ，解得.综上，P的极坐标为或或或. 规律方法(1)求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程熟练掌握互换公式是解决问题的关键(2)解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制
6、条件求出极坐标 对点训练1在极坐标系中，已知圆O：cos sin 和直线l：sin(0，0b0)(为参数)典型例题 (2019郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos2 32sin2 12，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N两点(1)若点P的极坐标为(2，)，求|PM|PN|的值；(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值【解】(1)由2cos2 32sin2 12得x23y212，故曲线C的直角坐标方程为1，点P的直角坐标为(2，0)，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程1中，得t2t40
7、，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则|PM|PN|t1t2|4.(2)由曲线C的直角坐标方程为1，可设曲线C上的动点A(2cos ， 2sin )，0.则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2cos 2sin )16sin，0.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当时取得最大值 规律方法(1)有关参数方程问题的2个关键点参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义(2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t
8、1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t0.|PM|t0|.|AB|t2t1|.|PA|PB|t1t2|. 对点训练1(2018高考全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解：(1)O的普通方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsi
9、n 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.2(2019成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是2sin.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设点P(0，1)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值解：(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为xy10.曲线C的极坐标方程可化为22，即22sin 2cos ，所以x2y22y2x，故曲线C的直
10、角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)将直线l的参数方程代入(x1)2(y1)22中，得2，化简，得t2(12)t30.因为0，所以此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得t1t221，t1t23，故t1，t2同正由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|PB|t1|t2|t1t221.考点3 极坐标方程与参数方程的综合应用(综合型) 典型例题 (2019广东六校第一次联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22sin1.(1
11、)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，且|OA|0，t1t210，所以t10，t20.因为|OA|0，所以. 反思提升解决极坐标、参数方程的综合问题应关注的三点(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简洁(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件 对点训练1已知曲线C的极坐标方程是4cos ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数
12、)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|，求直线l的倾斜角的值解：(1)因为cos x，sin y，2x2y2，所以曲线C的极坐标方程4cos 可化为24cos ，所以x2y24x，所以(x2)2y24.(2)将代入圆的方程(x2)2y24得：(tcos 1)2(tsin )24，化简得t22tcos 30.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则所以|AB|t1t2|，因为|AB|，所以.所以cos .因为，所以或.所以直线的倾斜角或.2在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过点M(2，4)以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立
13、极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C的极坐标方程为sin2 2cos .(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|MB|40，求倾斜角的值解：(1)因为倾斜角为的直线过点M(2，4)，所以直线l的参数方程是(t是参数)因为曲线C的极坐标方程为sin2 2cos ，所以2sin22cos ，所以曲线C的直角坐标方程是y22x.(2)把直线l的参数方程代入y22x，得t2sin2 (2cos 8sin )t200，由题意知，0，设t1，t2为方程t2sin2(2cos 8sin )t200的两根，则t1t2，t1t2，根据直线参数方程的几
14、何意义知|MA|MB|t1t2|40，故或，又(2cos 8sin )280sin2 0，所以.练典型习题提数学素养1已知曲线C的极坐标方程是2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C，过点F(，0)作倾斜角为60的直线交曲线C于A，B两点，求|FA|FB|.解：(1)直线l的普通方程为2xy20，曲线C的直角坐标方程为x2y24.(2)因为所以C的直角坐标方程为y21.易知直线AB的参数方程为(t为参数)将直线AB的参数方程代入曲线C：y21，得t2t10，设A，
15、B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，所以|FA|FB|t1t2|.2(2019郑州市第一次质量预测)已知曲线C1：x2(y3)29，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线(0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(4，0)，求MPQ的面积解：(1)曲线C1：x2(y3)29，把代入可得，曲线C1的极坐标方程为6sin .设B(，)，则A，则6sin()6cos .所以曲线C2的极坐标方程为6cos .(2)M到直线的距离为d4
16、sin2，射线与曲线C1的交点P，射线与曲线C2的交点Q，所以|PQ|33，故MPQ的面积S|PQ|d33.3(2019河北省九校第二次联考)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：sin2 2acos (a0)，过点P(2，4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值解：(1)把代入sin22acos ，得y22ax(a0)，由(t为参数)，消去t得xy20，所以曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y22ax(a0)，xy20.(2)将(
17、t为参数)代入y22ax，整理得t22(4a)t8(4a)0.设t1，t2是该方程的两根，则t1t22(4a)，t1t28(4a)，由题意知，|MN|2|PM|PN|，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2，所以8(4a)248(4a)8(4a)，所以a1.4在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；(2)已知射线l1：，将射线l1顺时针旋转得到射线l2：，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|QQ|的最大值解：(1
18、)曲线C1的直角坐标方程为(x2)2y24，所以C1的极坐标方程为4cos ，曲线C2的直角坐标方程为x2(y2)24，所以C2的极坐标方程为4sin .(2)设点P的极坐标为(1，)，即14cos ，点Q的极坐标为，即24sin，则|OP|OQ|124cos 4sin16cos 8sin4.因为，所以2.当2，即时，|OP|OQ|取最大值4.5(2019石家庄市质量检测)已知曲线C1的极坐标方程为4cos ，以极点O为直角坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，将曲线C1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到曲线C2.(1)
19、求曲线C2的直角坐标方程；(2)已知直线l的参数方程为(t为参数)，点Q为曲线C2上的动点，求点Q到直线l距离的最大值解：(1)由4cos 得24cos ，所以曲线C1的直角坐标方程为(x2)2y24.设曲线C1上任意一点的坐标为(x，y)，变换后对应的点的坐标为(x，y)，则即代入曲线C1的直角坐标方程(x2)2y24中，整理得x21，所以曲线C2的直角坐标方程为x21.(2)设Q(cos 1，2sin 1)，由直线l的参数方程得直线l的普通方程为3x2y80，则Q到直线l的距离d，当cos(1)1时，d取得最大值，为，所以点Q到直线l距离的最大值为.6(2019洛阳尖子生第二次联考)在平面
20、直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2cos .(1)若曲线C2的参数方程为(为参数)，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为(t为参数)，A(0，1)，且曲线C1与曲线C2的交点分别为P，Q，求的取值范围解：(1)2cos ，则22cos .因为2x2y2，xcos ，所以曲线C1的直角坐标方程为x2y22x0.将曲线C2的参数方程消去参数，可得曲线C2的普通方程为x2(y1)2t2.(2)将C2的参数方程(t为参数)代入C1的方程x2y22x0得，t2(2sin 2cos )t10.因为(2sin 2cos )248sin240，所以sin2，所以.设P，Q对应的参数分别为t1，t2则t1t2(2sin 2cos )2sin，t1t21.因为t1t210，所以t1，t2同号，所以|t1|t2|t1t2|.由t的几何意义可得|t1t2|2，所以(2，2
