1、数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】由已知得，因为，所以，故选A2.若为实数且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知得，所以，解得，故选B考点：复数的运算3.已知，向量的夹角为，则（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据向量的数量积运算，即可得答案；【详解】，故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题.4.已知,则是成立的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】
2、A【解析】试题分析：，则是成立的必要不充分条件考点：充分条件与必要条件5.九章算术中的“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则该竹子最上面一节的容积为（ ）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】C【解析】 设竹子自上而下各节的容积分别为，且为等差数列， 根据题意得， 即 ，解得，即最上面一节的容积为升，故选C6.函数的大致图象为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可【详解】函数，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，排除B，故选A【点睛】本题主要考查函数图象
3、的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键7.已知等比数列满足，则数列前项的和( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由已知条件求出，再结合等比数列前项和公式求解即可详解】由等比数列满足，则等比数列，即，代入可得，则数列前8项的和，故选：A.【点睛】本题考查了等比数列基本量的运算，重点考查了等比数列前项和的求法，属基础题.8.把函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据函数平移变换知，图像向左平移个单位，函数变为，即为函数的对称轴可得，可化为当时，有故本题答案选9.已知命题若
4、命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】命题是假命题是真命题对任意恒成立，故选D.点睛:判断一个语句是否为命题,要看它是否具备是陈述句和可以判断真假这两个条件,只有这两个条件都具备的语句才是命题;判断一个命题的真假,首先要分清命题的条件和结论,对涉及数学概念的命题真假的判断,要以数学定义,定理为依据,从概念的本身入手进行判断.本题的解题关键为正确理解逻辑联结词的含义,不但要看命题中是否含有逻辑联结词,而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义.10. 下列大小关系正确的是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：因为，所以故
5、选C考点：不等式的性质点评：对于指数函数和对数函数，若，则函数都为增函数；若，则函数都为减函数11.若函数，又，且的最小值为，则正数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，由，得，由，得，则，当时，取得最小值，则，解得，故选D.12.已知以为周期的函数，其中若方程恰有5个实数解，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得令，则有由同样由与
6、第三个半椭圆无交点，由可计算得综上知二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量，则_【答案】【解析】【分析】先计算，再计算得到答案.【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了向量的模，属于基础题型.14.在极坐标系中，点到点的距离为_.【答案】【解析】【分析】以极点为直角坐标原点，建立平面直角坐标系,求出A,B对应的点的直角坐标，利用两点间距离公式求解.【详解】以极点为直角坐标原点，建立平面直角坐标系,则点和点的直角坐标为，,故答案为：【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的转化，两点间的距离公式，属于容易题.15.点M是椭圆上任意点，则点M到直线距离的最大值为_.【答案】【
7、解析】【分析】设与直线平行的直线与椭圆相切，根据切线的意义可知切点到直线的距离最大或最小，求出切线方程，计算两平行线间的距离，即可得到最大值.【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切，联立得，,则，解得或，由椭圆和的位置关系，取离直线远的切线，此时切点M是椭圆上到直线的距离最大的点，等于两平行直线的距离，故答案为：【点睛】本题主要考查了点到直线距离的最大值，平行线间的距离，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，转化思想，属于中档题.16.某煤气站对外输送煤气时，用15号5个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：若开启2号，则必须同时开启3号并且关闭1号； 若开启1号或3号，则关闭5号；禁止同时关闭4号
8、和5号，现要开启2号，则同时开启的另外2个阀门是_.【答案】3号和4号【解析】【分析】开启2号则必须开启3号，关闭5号， 又4，5不能同时关闭，则4开启【详解】因为2号开启，所以3号必须开启并且关闭1号，因为开启1号或3号，则关闭5号，所以5号必然关闭，因为禁止同时关闭4号和5号，5号已关闭，所以必须开启4号.所以另外开启的两个阀门是3号和4号故答案为：3号和4号【点睛】本题主要考查了简单的逻辑推理，解题时应注意题设中所给条件的合理运用，属于基础题.三、解答题（本小题共6小题，第17题10分，第1822题各12分，共计70分；解答时请写出必要的文字说明，方程式和重要的演算步骤）17.在平面直角
9、坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点且与直线平行的直线交于两点，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据三角函数平方关系消参数得曲线C的普通方程，根据得直线的直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入到椭圆方程，利用参数的几何意义进行求解.【详解】（1）曲线化为普通方程为：，由，得， 所以直线直角坐标方程为. （2）由题知，直线的参数方程为（为参数），代入化简得：，设两点所对应的参数分别为，【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转
10、化，直线参数方程的几何意义，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点、分别为和中点.（1）求证：直线平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得直线平面；（2）连接，推导出，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取的中点为，连接、，、分别为、的中点，且四边形是菱形，是的中点，且，且，四边形为平行四边形，又面，面，直线平面；（2）连接、，四边形是菱形，是等边三角形，为的
11、中点，又面，以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、，设平面的一个法向量为，由，即，令，得，设与平面所成角为，则,因此，平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题.19.微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“组”，否则为“组”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有60%
12、的把握认为“组”用户与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“组”和“组”的人数；（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“组”的人数为，试求的分布列与数学期望.参考公式： ，其中.临界值表：【答案】（1）没有；（2）3人，2人；（3）分布列见解析，.【解析】【分析】利用列联表，计算，对照数表得出概率结论；（2）利用分层抽样原理计算从女性中选出5人中“组”和“组”的人数；（3）计算基本事件数，求出对应的概率值.【详解】（1）；没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关； （2）由题意得，所抽取
13、的5位女性中，“A组”有人，“B组”有人； （3）X的所有可能取值为1，2，3， 则，所有X的分布列为：数学期望为.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题和求古典概型的概率问题，是基础题目；解题步骤：（1）认真读题，取出相关数据，作出列联表；（2）根据列联表中的数据，计算的观测值；（3）通过观测值与临界值比较，得出事件有关的可能性大小.20.在数列中，.（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）把原数列递推式变形，可证得是等比数列，求出的通项公式后可求数列an的通项公式；（2
14、）把数列an的通项公式代入，整理后运用分组求和法求【详解】（1）证明：，或者又，是首项为4，公比为2的等比数列，；（2），所以.【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了分组成等比数列或等差数列求数列的和，属中档题21.已知的内角的对边分别为，且满足.（1）判断的形状；（2）若，为角的平分线，求的面积.【答案】（）直角三角形；（）.【解析】【详解】试题分析：（1）由两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可求，即可判定三角形的形状；（2）由已知利用勾股定理可求，利用三角形内角和定理可求，由正弦定理可求的值，再利用三角形面积公式得结果.试题解析：（
15、I）由，得, ,. , 故为直角三角形. (II)由（I）知，又， ，, 由正弦定理得,， 22.已知椭圆的离心率为，且过点若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意知，可得，又，即可求出椭圆的方程；（2）设，则，由于以为直径的圆经过坐标原点，所以即，由得，根据韦达定理、弦长公式和面积公式即可求出结果试题解析：（1） 解：由题意知，即又，椭圆的方程为（2）设，则由于以为直径的圆经过坐标原点，所以即由得，代入即得：，,把代入上式得考点：1椭圆的方程；2直线与椭圆的位置关系
