1、课时素养评价 二十复数的乘除运算 (20分钟35分)1.(2020全国卷)复数的虚部是()A.-B.-C.D.【解析】选D.因为=+i,所以复数的虚部为.【补偿训练】 (2020沈阳高二检测)已知复数z满足z(1+i)=1-i(i为虚数单位),则z的虚部为()A.-iB.iC.1D.-1【解析】选D.因为复数z满足z(1+i)=1-i,所以z=-i,所以z的虚部为-1.2.(2020全国卷)复数(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i【解析】选D.因为=-i,所以z=i.3.复数=()A.-iB.-+iC.-iD.+i【解析】选C.因为i2=-1,i3=-i,i4=1,
2、所以=-i.4.(2020天津高二检测)设复数z=(i是虚数单位),则z的共轭复数=_.【解析】因为复数z=2-3i,所以z的共轭复数=2+3i.答案:2+3i5.(2020上海高二检测)若2+i(i 是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,则m+n等于_.【解析】因为2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,所以(2+i)2+m(2+i)+n=0,所以2m+n+3+(4+m)i=0,所以所以m+n=1.答案:16.(2020咸阳高二检测)计算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2;(3)+.【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)
3、=5.(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.(3)原式=+=i6+i=-1+i. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.满足=i(i为虚数单位)的复数z=()A.+iB.-iC.-+iD.-i【解析】选B.因为=i,所以z+i=zi,所以i=z(i-1).所以z=-i.2.已知复数z=,是z的共轭复数,则z等于()A.B.C.1D.2【解析】选A.方法一:因为z=-+,所以=-,所以z=.方法二:因为z=,所以|z|=,所以z=.3.(2020长春高二检测)若复数(aR,i是虚数单位)是纯虚数,则a的值为()A.-2 B.2 C.1 D.-
4、1【解析】选B.=+i,根据复数为纯虚数故有=0,0,即a=2.【补偿训练】 (2020郑州高二检测)已知复数z满足(1+i)z=1-3i(i是虚数单位),若复数(1+ai)z是纯虚数,则实数a的值为_;若复数z的共轭复数为,则复数=_.【解析】解得z=-1-2i,因为复数(1+ai)z是纯虚数,则(1+ai)(-1-2i)=-1+2a+ (-a-2)i,所以-1+2a=0,且-a-20,所以实数a的值为.因为z的共轭复数为=-1+2i,所以复数=-1-i.答案:-1-i4.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,bR)为“理想复数”,则()A.a-5b
5、=0B.3a-5b=0C.a+5b=0D.3a+5b=0【解析】选D.因为z=+bi=+bi=+i.由题意知,=-b,则3a+5b=0.【误区警示】解此题时,一定要特别注意“理想复数”与共轭复数的区别,注意共轭复数的思维定式.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020济南高一检测)下面是关于复数z=的四个命题,其中的真命题为()A.|z|=2B.z2=2iC.z的共轭复数为1+iD.z的虚部为-1【解析】选BD.因为z=-1-i,所以A:|z|=,B:z2=2i,C:z的共轭复数为-1+i,D:z的虚部为-1.【光速解题】把复数z化简后
6、,逐项验证,即可得到正确答案.6.(2020济南高二检测)下面关于复数的四个说法中,结论正确的是()A.若复数zR,则RB.若复数z满足z2R,则zRC.若复数z满足R,则zRD.若复数z1,z2满足z1z2R,则z1=【解析】选AC.A选项,设复数z=a+bi(a,bR),则=a-bi(a,bR),因为zR,所以b=0,因此=aR,即A正确;B选项,设复数z=a+bi(a,bR)则z2= =a2-b2+2abi,因为z2R,所以ab=0,若a=0,b0,则zR,故B错;C选项,设复数z=a+bi(a,bR),则=-i,因为R,所以=0,即b=0,所以z=aR,故C正确;D选项,设复数z1=a
7、+bi (a,bR),z2=c+di(c,dR),则z1z2=+i,因为z1z2R,所以ad+bc=0,若能满足ad+bc=0,但z1,故D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020成都高二检测)已知i2 020(m+ni)=(mR,nR),则复数z=m+ni的虚部是_.【解析】因为i2 020(m+ni)=(mR,nR),所以m+ni=-+i,所以z=-+i,所以复数z的虚部是.答案:【补偿训练】 (2020济南高二检测)(多选题)已知集合M=,其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是()A.B.C.D.【解析】选BC.根据题意M=中n=4k时,in=1;n=4k+1时,in=
8、i;n=4k+2时,in=-1;n=4k+3时,in=-i,所以M=.选项A中=2M;选项B中,=-iM;选项C中,=iM;选项D中=-2iM.8.(2020郑州高二检测)已知:复数z=+,其中i为虚数单位.若z2+a+b=2+3i,则实数a=_,b=_.【解析】z=+=2i+i=-1+3i,由z2+a+b=2+3i得+a+b=2+3i,即+i=2+3i所以解得答案:-37四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020杭州高二检测)已知z=-+.(1)是z的共轭复数,求+1的值;(2)求的值.【解析】(1)由题知=-,所以+1=-+1=0.(2)因为z3=1,所以1-z2 019=1-=1
9、-1=0.所以=1.10.(2020上海高二检测)设z是虚数,=z+是实数,且-12.(1)求z的实部的取值范围.(2)设=,求证:为纯虚数;(3)求-2的最小值.【解析】(1)因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,yR,且y0,所以=z+=x+yi+=x+yi+=x+i,可得x2+y2=1,此时,=2x-x1;(2)因为=-i,因为y0,-x1,所以为纯虚数;(3)-2=2x-,然后化简和计算得到-2=2(x+1)+-32-3=1.当且仅当x=0时等号成立,所以-2的最小值为1.1.(多选题)对任意复数1,2,定义1*2=1,其中是2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3,有如下四个命题:*z3=+;z1*=+;*z3=z1*;z1*z2=z2*z1.则真命题是()A.B.C.D.【解析】选AB.由题意*z3=z1+z2=+,故正确;z1*=z1=z1(+)=z1+z1=+,故 正确;*z3=z1,z1*=z1*=z1 =z1z3,故不正确;z1*z2=z1,z2*z1=z2,故不正确.2.(2020广州高二检测)设i为虚数单位,n为正整数,如果满足=cos n+isin n;则当z=-i时计算z10.【解析】z=-i=2=2,由=cos n+isin n得z10=(-i)10=210 =210=210=512.