1、解答题综合限时练解答题综合限时练1169(满分70分，限时70分钟)本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题12分)在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，且sin2Asin.(1)求角A的大小(2)求sinBsinC的取值范围解析(1)因为sin2Asin，所以2sinAcosAcosA，即(2sinA)cosA0，(4分)又在锐角三角形ABC中，A，故cosA0，所以sinA，所以A.(6分)(2)因为ABC所以sinBsin(AC)sin(AC)sin所以sinBsinCsinsinCcosCsinCsin(8分)因为在锐角三角形ABC中，A，
2、所以BC，BC，所以故C，(10分)C，sin所以sinBsinC的取值范围为.(12分)18(本小题12分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：维修次数89101112频数1020303010以这100台机器维修次数的频率代替
3、1台机器维修次数发生的概率，记X表示1台机器三年内共需维修的次数，n表示购买1台机器的同时购买的维修次数(1)求X的分布列(2)若要求P(Xn)0.8，确定n的最小值(3)以在维修上所需费用的期望值为决策依据，在n10与n11之中选其一，应选用哪个？解析(1)由统计表并以频率代替概率可得，X的分布列为X89101112p0.10.20.30.30.1(3分)(2)因为P(X10)0.10.20.30.60.8，P(X11)0.10.20.30.30.90.8，所以n的最小值为11.(5分)(3)记当n10时，在维修上所需费用为Y1元，则Y1的分布列为Y12 4002 4502 5003 000
4、3 500p0.10.20.30.30.1所以E(Y1)2 4000.12 4500.22 5000.33 0000.33 5000.12 730(元)(8分)记当n11时，在维修上所需费用为Y2元，则Y2的分布列为Y22 6002 6502 7002 7503 250p0.10.20.30.30.1所以E(Y2)2 6000.12 6500.22 7000.32 7500.33 2500.12 750(元)(11分)因为E(Y1)E(Y2)，所以应选择n10.(12分)19(本小题12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，ACC1CC1B60，A
5、C2.(1)证明：AB1CC1.(2)若三棱柱ABCA1B1C1的体积为3，求二面角B1ACC1的余弦值解析(1)取CC1的中点O，连接AO，AC1，B1C，B1O，由菱形的性质及ACC1CC1B160.得ACC1，B1CC1为正三角形所以AOCC1，B1OCC1，且AOB1OO.所以CC1平面AOB1，因为AB1平面AOB1，所以CC1AB1.(4分)(2)三棱锥AA1B1C1的体积是三棱柱ABCA1B1C1体积的三分之一，得四棱锥ABCC1B1的体积是三棱柱ABCA1B1C1体积的三分之二，即等于2.菱形BCC1B1的面积为S菱形BCC1B122sin602.设四棱锥ABCC1B1的高为h
6、，则2h2，所以h，又AOh，AO平面BCC1B1，(6分)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，)，B1(，0,0)，C(0，1,0)(，1,0)，(0,1，)，(7分)设平面CAB1的一个法向量为n1(x，y，z)，则取一个法向量为n1(，3，)，(9分)显然n2(1,0,0)是平面C1CA的一个法向量(10分)则cosn1，n2.所以二面角B1ACC1的余弦值为.(12分)20(本小题12分)设抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，准线为l.已知点M在抛物线E上，点N在l上，MNF是边长为4的等边三角形(1)求p的值；(2)若直线AB是过定点Q(2,0)的一条直线，且与抛物线E交
7、于A，B两点，过Q作AB的垂线与抛物线E交于C，D两点，求四边形ABCD面积的最小值解析(1)由题意知|MF|MN|，则MNl.设准线l与x轴交于点H，则MNHF，又MNF是边长为4的等边三角形，MNF60，所以NFH60，则HFNFcos602，即p2.(3分)(2)设直线AB的方程为xmy2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得y24my80，则y1y24m，y1y28，|AB|y1y2|4，(5分)设C(x3，y3)，D(x4，y4)，同理得|CD|4 ，(7分)则四边形ABCD的面积S|AB|CD|88，(9分)令m2(2)，则S88，所以S8是关于的增函数，则Smin48，当
8、且仅当m1时取得最小值48.(12分)21(本小题12分)已知函数f(x)axln x(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，证明：2.解析(1)f(x)axln x(x0)f(x)a(1分)当a0时，x0，f(x)0时，f(x)0x，f(x)00x0时，f(x)的增区间是，减区间是.(5分)(2)函数f(x)有两个零点分别为x1，x2，则a0，不妨设x12，只需证2a，只需证a，只需证，只需证ln，只需证ln1，即证lnt.(9分)设(t)lnt，则(t)0，即函数(t)在(1，)上单调递减，则(t)2.(12分)请在第22,23两题中任选一题作答，
9、如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)(选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos22asin(a0)，过点P(1，2)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C交于A，B两点(1)求C的直角坐标方程和l的普通方程；(2)若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求a的值解析(1)由cos22asin，两边同乘，得2cos22asin，所以C的直角坐标方程为x22ay(a0)将消去参数t，得直线l的普通方程为xy10.(5分)(2)把代入x22ay，整理得t22(1a)t8a20，所以t1t22(1
10、a)，t1t28a2，由8(1a)24(8a2)0，得a2或a0，所以a2，所以t1t28a20.因为|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，所以|AB|2|PA|PB|由t的几何意义得(t1t2)2|t1t2|t1t2，即(t1t2)25t1t2.所以2(1a)25(8a2)，即4a212a10，解得a.又a2，所以a.(10分)23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|3x1|3x1|，M为不等式f(x)|ab|.解析(1)f(x)|3x1|3x1|6，当x时，f(x)3x13x16x，由6x1，所以1x；当x时，f(x)3x13x12,2时，f(x)3x13x16x，由6x6解得x1，所以x1.综上，f(x)6的解集Mx|1x1(5分)(2)(ab1)2(ab)2a2b22ab1(a2b22ab)a2b2a2b21(a21)(b21)，由a，bM得|a|1，|b|1所以a210，b210，所以|ab1|ab|.(10分)