1、【高频考点解读】1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4.知道指数函数是一类重要的函数模型5理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用6.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点7.知道对数函数是一类重要的函数模型8.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1)【热点题型】题型一 指数式与根式的计算( 例1、计算(1)736_.(2)0.50.1230_.
2、【提分秘籍】化简指数幂的一般步骤是：有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除，最后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；底数是负数，先确定符号；底数是小数，先要化成分数；底数是带分数的，先要化成假分数；若是根式，应化为分数指数幂，然后再尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质【举一反三】 若x0，则(2x3)(2x3)4x(xx)_.解析：原式(2x)2(3)24x14x4x334x423.答案：23题型二 指数函数的图象问题(例2、若方程|ax1|2a(a0，且a1)有两解，则a的取值范围是_解析令f(x)|ax1|，g(x)2a，画出它们的图象，如图，由图可知0
3、2a1，则0a0且a1)三者之间的关系： yax与y|ax|是同一函数的不同表现形式函数ya|x|与yax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x0时两函数图象相同【举一反三】 已知c2c BccC2cc解析：在同一平面直角坐标系中分别作出yx，yx，y2x的图象(如图)，显然x0时，x2xx.即c0时，c2cbc BbacCcab Dcba解析a40.821.6，b80.4621.38，c1.221.2，又1.61.381.2，21.621.3821.2.即abc.答案A 【提分秘籍】(1)比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法 (2)简单的指数方程或不等式的求解问题
4、解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论 (3)指数型函数中参数的取值范围问题在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应注意对底数a的分类讨论【举一反三】 若函数f(x)则不等式f(x)的解集为()A1,2)3，)B(，31，)C.D(1， 3，)答案：B 题型四 对数运算例4、(1)()2log()()A1 B.C. D.(2)_.(3)若log147a,14b5，则a，b表示log3528_.解析(1)原式()log()5()log().(2)原式(3)14b5，log145b，又log147a，log3528.答案(1)D(2)(3)【提分秘
5、籍】 对数式的化简与求值的常用思路： (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并 (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底数真数的积、商、幂再运算【举一反三】 lg 25lg 2lg 50(lg 2)2()A1 B2C3 D4 解析：原式2lg 5lg 2(1lg 5)(lg 2)2 2lg 5lg 2(1lg 5lg 2) 2lg 52lg 22. 答案：B题型五 对数函数的图象及应用 例5、(1)函数f(x)lg(|x|1)的大致图象是()(2)设方程10x|lg(x)|的两个根
6、分别为x1，x2，则()Ax1x21 D0x1x21 (2)作出y10x，与y|lg(x)|的大致图象，如图显然x10，x20. 不妨设x1x2，则x11，1x20，所以10x1lg(x1)， 10x2lg(x2)，此时10x110x2，即lg(x1)lg(x2)，由此得lg(x1x2)0，所以0x1x20，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()题型六 对数函数的性质及应用例6、对于函数f(x)log(x22ax3)，解答下列问题：(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)在(，1内为增函数，求实数a的取值
7、范围【提分秘籍】 对数函数性质的考查多与复合函数联系在一起要注意两点： (1)要认清复合函数的构成，判断出单调性 (2)不要忽略定义域【举一反三】 已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解析：(1)f(1)1， log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30得1x1，blog0，c1，bca.10（2014四川卷） 已知b0，log5ba，lg bc，5d10，则下列等式一定成立的是()Adac BacdCcad Ddac【答案】
8、B【解析】因为5d10，所以dlog510，所以cdlg blog510log5ba，故选B.11（2014安徽卷） 设alog37，b21.1，c0.83.1，则()Abac Bcab Ccba Dacalog371，b21.12，c0.83.11，所以ca0，且a1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()ABCD【答案】B13（2014辽宁卷） 已知a2，blog2，clog，则()Aabc BacbCcba Dcab【答案】D【解析】因为0a21，blog2log1，所以cab.14（2014全国新课标卷 设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_【答案】(，8【解析】当x
9、1时，由ex12，得x1；当x1时，由x2，解得1x8，综合可知x的取值范围为x8.15（2014山东卷） 已知实数x，y满足axay(0ay3 Bsin xsin yCln(x21)ln(y21) D.【答案】A【解析】因为axay(0a1)，所以xy，所以x3y3恒成立故选A.16（2014陕西卷） 下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x3 Bf(x)3xCf(x)x Df(x)【答案】B【解析】由于f(xy)f(x)f(y)，故排除选项A，C.又f(x)为单调递减函数，所以排除选项D.18（2014陕西卷） 已知4a2，lg xa，则x_【答案】【
10、解析】4a2，即22a2，可得a，所以lg x，所以x10.19（2014四川卷） 设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的取值范围是()A，2 B，2 C，4 D2，4 【答案】B20（2014天津卷） 函数f(x)lg x2的单调递减区间是_【答案】(，0)【解析】函数f(x)lg x2的单调递减区间需满足x20且yx2单调递减，故x(，0)21（2014安徽卷） log3log3_.【答案】【解析】原式 log3.22（2014浙江卷） 在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax的图像可能是() AB CD
11、【答案】D【解析】只有选项D符合，此时0a0，且a1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()ABCD 【答案】B【解析】由函数ylogax的图像过点(3，1)，得a3.选项A中的函数为y，其函数图像不正确；选项B中的函数为yx3，其函数图像正确；选项C中的函数为y(x)3，其函数图像不正确；选项D中的函数为ylog3(x)，其函数图像不正确，故选B.24（2014广东卷） 等比数列an的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_【答案】5【解析】在等比数列中，a1a5a2a4a4.因为an0，所以a32，所以a1a2a3a4a5(a1a5)
12、(a2a4)a3a25，所以log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2255.25（2014辽宁卷） 已知a2，blog2，clog，则()Aabc BacbCcba Dcab【答案】D【解析】因为0a21，blog2log1，所以cab.26（2014山东卷） 已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图像如图11所示，则下列结论成立的是()图11Aa1，x1 Ba1，0c1C0a1 D0a1，0c1)的图像是()解析ya|x|当x0时，与指数函数yax(a1)的图像相同；当x0时，yax与yax的图像关于y轴对称，
13、由此判断B正确答案B2已知函数f(x)，则f(9)f(0)()A0 B1C2 D3解析f(9)log392，f(0)201，f(9)f(0)3.答案D3不论a为何值时，函数y(a1)2x恒过定点，则这个定点的坐标是 ()A.B.C.D.解析y(a1)2xa2x，令2x0，得x1，则函数y(a1)2x恒过定点.答案C4定义运算：a*b如1*2=1,则函数f(x)=2x*2-x的值域为()ARB(0，)C(0,1 D1，)解析f(x)2x*2xf(x)在(，0上是增函数，在(0，)上是减函数，01，b0，且abab2，则abab的值为()A.B2或2C2 D2解析 (abab)28a2ba2b6，
14、(abab)2a2ba2b24.又abab(a1，b0)，abab2.答案D6若函数f(x)(k1)axax(a0且a1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)loga(xk)的图象是下图中的()解析函数f(x)(k1)axax为奇函数，则f(0)0，即(k1)a0a00，解得k2，所以f(x)axax，又f(x)axax为减函数，故0a1，所以g(x)loga(x2)为减函数且过点(1,0)答案A7已知实数alog45，b0，clog30.4，则a，b，c的大小关系为()AbcaBbacCcabDcb1，b01，clog30.40，故cba.答案D8设f(x)lg(a)是奇函数，则使f(x
15、)0的x的取值范围是()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)解析f(x)为奇函数，f(0)0，a1.f(x)lg，由f(x)0得，01，1x0.答案A9若函数yloga(x2ax1)有最小值，则a的取值范围是()A0a1 B0a2，a1C1a1，且0，得1a0且a1)满足对任意的x1，x2，当x10，则实数a的取值范围为()A(0,1)(1,3) B(1,3)C(0,1)(1,2) D(1,2)解析“对任意的x1，x2，当x10”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f(x)有意义”事实上由于g(x)x2ax3在x时递减，从而由此得a的取值范围为(1,2)故选
16、D.答案D11已知函数f(x).(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求证f(x)在R上为增函数12已知函数f(x)bax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)；(2)若不等式()x()xm0在x(，1时恒成立，求实数m的取值范围解析(1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)bax，得结合a0且a1，解得f(x)32x.(2)要使()x()xm在(，1上恒成立，只需保证函数y()x()x在(，1上的最小值不小于m即可函数y()x()x在(，1上为减函数，当x1时，y()x()x有最小值.只需m即可m的取值范围(，13已知函数f(x)ax
17、24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值解析(1)当a1时，f(x)x24x3，令tx24x3，由于t(x)在(，2)上单调递增，在2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在2，)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是2，)，递减区间是(，2)(2)令h(x)ax24x3，f(x)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1.即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.14已知定义在R上的函数f(x)2x.(1)若f(x)，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实
18、数m的取值范围解(1)当x0，x1.(2)当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，22t10，m(22t1)，t1,2，(22t1)17，5，故m的取值范围是5，)15若函数ylg(34xx2)的定义域为M.当xM时，求f(x)2x234x的最值及相应的x的值16已知函数f(x)loga(a0，b0，a1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性；解(1)令0，解得f(x)的定义域为(，b)(b，)(2)因f(x)logaloga1logaf(x)，故f(x)是奇函数(3)令u(x)，则函数u(x)1在(，b)和(b，)上是减函数，所以当0
19、a1时，f(x)在(，b)和(b，)上是增函数；当a1时，f(x)在(，b)和(b，)上是减函数17已知函数f(x)loga，(a0，且a1)(1)求函数的定义域，并证明：f(x)loga在定义域上是奇函数；(2)对于x2,4，f(x)logaloga恒成立，求m的取值范围解(1)由0，解得x1，函数的定义域为(，1)(1，)当x(，1)(1，)时，f(x)logalogaloga1logaf(x)，f(x)loga在定义域上是奇函数 (2)由x2,4时，f(x)logaloga恒成立，当a1时，0对x2,4恒成立0m0.yg(x)在区间2,4上是增函数，g(x)ming(2)15.0m15.当0aloga恒成立，(x1)(x1)(7x)在x2,4恒成立设g(x)(x1)(x1)(7x)，x2,4，由可知yg(x)在区间2,4上是增函数，g(x)maxg(4)45，m45.m的取值范围是(0,15)(45，).