1、北京市房山区2020-2021学年高二数学上学期期末检测试题本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知点，则线段的中点坐标为（A）（B）（C）（D）（2）圆心为，半径为的圆的方程为（A）（B）（C）（D）（3）已知直线和互相平行，则（A）（B）（C）或（D）或（4）下列双曲线中以为渐近线的是 （A）（B）（C）（D）（5）在的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（6）已知某
2、种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（A）（B）（C）（D）（7）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则（A）（B）（C）（D）（8）已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（A）（B）（C）（D）（9）已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（A）相交（B）相切（C）相离（D）不能确定（10）如图，在正方体中，点分别是棱上的动点给出下面四个命题：直线与直线平行；若直线与直线共面，则直线与直线相交；直线到平面的距离为定值；直线与直线所成角的最大值是其中，真命题的个数是 （A）1（B）2（C
3、）3（D）4第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）电影夺冠要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有_种.（用数字作答）（12）设随机变量的分布列为： 则_；随机变量的数学期望_. （13）某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示.男生女生有参加滑雪运动打算810无参加滑雪运动打算1012从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为_；若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为_. （14）设抛物线的焦点为，点在抛物线上. 则抛物线的准线方程为_；_. （15）已知曲线.
4、给出下列四个命题：曲线过坐标原点；若，则是圆，其半径为；若，则是椭圆，其焦点在轴上；若，则是双曲线，其渐近线方程为.其中所有真命题的序号是 三、解答题共6小题，共75分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题12分）已知直线过点，再从下列条件、条件、条件这三个条件中任意选择一个作为已知，求直线的方程.条件：直线经过直线与 的交点；条件：直线与圆相切；条件：直线与坐标轴围成的三角形的面积为注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（17）（本小题12分）已知点在抛物线上，过点且斜率为的直线与抛物线的另一个交点为.（）求的值和抛物线的焦点坐标；（）求弦长.（18）（本小题1
5、2分）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：（）第一次摸到红球的概率；（）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；（）第二次摸到红球的概率.（19）（本小题13分）某软件是一款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类APP.某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机抽取了100人，调查结果整理如下：顾客年龄20岁以下20,30)30,40)40,50)50,60)60,7070岁以上使用人数510188420未使用人数002123630（）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用这款APP的概率；（）从被抽
6、取的年龄在且使用这款APP的顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，用表示这2人中年龄在的人数,求随机变量的分布列及数学期望；（）为鼓励居民使用，该机构拟对使用这款APP的居民赠送1张5元的代金劵.若某区预计有6000人具有购物能力，试估计该机构至少应准备多少张代金券.（20）（本小题13分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为中点.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（21）（本小题13分）已知椭圆的离心率为,且经过点.（）求椭圆的方程；（）不过点的直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.房山区2020-2021学年度第一学期期末检测参考答案高二年级 数学学科一、选择
7、题共10小题，每小题5分，共50分。12345678910BDCADBCAAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（第一空3分，第二空2分）（11） （12）； （13）；（14） （15） （错选0分，漏选3分）三、解答题共6小题，共75分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题12分）选择条件：解方程组 得 4则直线的斜率为， 8所以直线的方程为，即.12选择条件：设直线的方程为（显然直线的斜率存在），即.圆的圆心为，半径为. 4因为 直线与圆相切,所以 . 解得. 8所以直线的方程为，即. 12选择条件：设直线的方程为（显然直线不与坐标轴平行），1令 得.则 .
8、 4解得. 8所以直线的方程为，即，.12（17）（本小题12分）（）由点在抛物线上，得.2所以抛物线的方程为，焦点坐标为. 5 （）直线的方程为 ，即， 7解方程组 得 或 9所以点的坐标为 . 所以 . 12（18）（本小题12分）设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，则事件：第一次摸到白球.（）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种,所以 . 4 （）第一次摸到红球的条件下,剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.所以 . 8（）.12所以第二次摸到红球的概率.（19）（本小题13分）（）在
9、随机抽取的100名顾客中，年龄在30, 50)且未使用这款APP的共有2+12=14人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在30, 50)且未使用这款APP的概率为 2 （）的所有可能取值为0，1，2，则 , , .8 012所以的分布列为9故的数学期望为 11 （）在随机抽取的100名顾客中，使用自助结算机的共有人， 所以该机构至少应准备张代金券的张数估计为:张 13 （20）（本小题13分）（）因为 平面，平面， 所以 因为底面为正方形，所以 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系1则因为所以 2又， 3所以平面 4（）因为 为中点， 所以，设平面的法向量为，则 即令，则.8由（）知，为平面的法向量, 10所以. 12由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为.13（21）.（本小题13分）（）由椭圆离心率为,且经过点 ,可知.2所以 .所以 . 3所以椭圆的方程为. 4（）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由 得 .6.设， 则.8因为以线段为直径的圆经过点 ，所以 . 所以 . 9由 ，整理得 .解得 或 （都满足）.所以 或 . 10因为直线不过点，所以直线过定点 . 11当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，.解得 或 （舍）.综上 直线过定点 . 13备注：解答题只提供一种解法，其他解法请仿此标准给分。