1、常州市新桥高级中学2021届第三次模拟考试数学试题 5.25一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1 集合A与集合B满足，则集合A与集合B的关系成立的是（ ）ABCD2 某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为（ ）ABCD3 函数的图像大致是（ ）A B C D 4 双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（ ）ABC.2D.45 已知单位向量满足，则向量的夹角是 （ ）ABCD6 南宋数学家杨辉详解九章算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列前后两项之差不相等，但是逐项差数之
2、差或者高次差成等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前6项分别1，6，13，24，41，66，则该数列的第7项为（ ）A91B.99C.101D.1137 己知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则的值是（ ）A.0BC.1D8 第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市同时，中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残运会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家
3、根据规划，国家体育馆鸟巢成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线，AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分9 若复数满足（其中i是虚数单位），则（ ）A的虚部为B的模为C的共轭复数为D在复平面内对应的点位于第四象限10 关于圆C：， 下列说法正确的是（ ）A k的取值范围是k0B 若k=4，过M（3，4）的
4、直线与圆C相交所得弦长为，其方程为12x-5y-16=0C 若k=4，圆C与相交D 若k=4，m0，n0，直线mx-ny-1=0恒过圆C的圆心，则恒成立11 已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）A 的最小正周期为B 的图象关于直线对称C 在区间上单调递增D 的值域为12若，则下列不等式成立的是（ ）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13 若 ，则的值为 14 若函数f(x)满足且最大值为2，请写出一个满足条件的函数的解析式： 15 已知点A，B，C为球O的球面上的三点，且BAC=，BC=3，若球O的表面积为，则点O到平面ABC的距离为 16 已知数列满足，若从四个
5、条件：；中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列的通项表示为的形式，则 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分10分）在；，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求出ABC的面积问题：在ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，已知，补充的条件是 和18 （本小题满分12分）如图，在四棱锥A-BCDE中，BC/DE，BEBC，AB=BC=AC=2DE=2BE（1）证明：ADBC（2）若平面BCDE平面ABC，经过A，D的平面将四棱锥A-BCDE分成左、右两部分的体积之比为1：2，求平面与平面ADC所成锐二面角的余弦
6、值19 （本小题满分12分）若数列及满足，且（1）证明：；（2）求数列和的通项公式20 （本小题满分12分）一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术（5G）的进步就是源于数学算法的优化华为公司所研发的SingleRAN算法在部署5G基站时可以把原来的4G、3G基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将之归功于“数学的力量”近年来，我国加大5G基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村（1）现抽样调查某市所辖的A地和B地SG基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如下表：已覆盖未覆盖A地2080B地2575视样本的频率为总体的
7、概率，假设从A地和B地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中A地5G已覆盖的村比B地多的概率；（2）该市2020年已建成的5G基站数y与月份x的数据如下表：123456789101112y283340428547701905115114231721210926013381探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，5G基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制，5G基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的5G基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型拟合比较合理，请结合参考数据，求5G基站数关于月份x的回归方程（的值精确到0.01）附：设，则， ， ， 对于样本，（i=1，2，
8、n）的线性回归方程有， 21 （本小题满分12分）已知抛物线C：的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等（1）求抛物线C的标准方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心，1为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧证明：当直线l与x轴不平行时，过点A，B分别作抛物线C的切线与相交于点D，求DAM与DBN的面积之积的取值范围22 （本小题满分12分）已知函数，其中（1）讨论函数f(x)的单调性，并求不等式的解集；（2）若a=1，证明：当x0时，；（3）用maxm，n表示m，n中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数a的取值范围参
9、考答案：123456789101112BCBCBCADBDACDCDAD13 14 15 3 16 或17解：因为，所以又，所以，即，若选，则，三角形不存在；因此，只能选择和，与联立，解得 ，；或，所以，符合条件的ABC存在，且18 解：（1），当n2且时，有，又，也满足，对任意的，都有（2）将代入，得，进而，数列是首项为2，公比也为2的等比数列，19 （1）证明：取BC的中点O，连接AO，DO因为BO=DE，BO/DE，所以BODE为平行四边形，又EBBC，所以DOBC因为AB=BC=AC，所以AOBC，又AO DO=O，所以BC平面ADO因为AD平面ADO，所以ADBC（2）解：因为平面B
10、CDE平面ABC，平面BCDE平面ABC=BC，所以DO平面ABC因为，所以平面ADO即为平面以O为坐标原点，以OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、x轴建立如图所示的空间直角坐标系，令AB=2，则，所以设平面ADC的法向量为，则，即，令x=1，则，所以又平面的一个法向量为设平面与平面ADC所成的角（锐角）为则，所以平面与平面ADC所成锐二面角的余弦值为 20 （本小题满分12分）【答案】（1）；（2） 【答题分析】（1）用样本估计总体，抽到A地5G覆盖的村概率为，抽到B地5G覆盖的村概率为，A地抽到的2个村中5G基站覆盖的村个数为X，则X满足二项分有B地抽到的2个村中5G基站覆盖的村个数
11、为Y，则Y满足二项分布从A地和B地各随机抽取2个村，这4个村中A地5G覆盖的村比B地5G覆盖的村多的概率为（2）由指数模型 ，设，则，则与x是线性相关关系因为，所以，即，即21【解析】（1）由题意可得，解得p=4，所以抛物线C的方程为（2）由（1）知，圆F方程为：由已知可设，且，由得，设是抛物线C上任一点，则，故抛物线与圆相离证明：当直线l与x轴不平行时，有，方法一：由抛物线定义知，所以，所以方法二：因为A，M，N，B四点共线，M，N中点为F（0.2），若，则必有AB中点与M、N中点重合，即因为，所以由（1）知抛物线方程为所以所以过点A的切线，即同理可得，过点B的切线为由方程联立，得解之，得，又得，所以到的距离，从而22（1），当x3时，当x0的解集为（2）由x0，得，则，即在上为增函数故，即（3）由（1）知，当时，恒成立，故恒成立当x3时，f(x)0，因为，要使得恒成立，只要在（0，3）上恒成立即可由，得设函数，则，令，得随着x变化，与r(x)的变化情况如下表所示：0极大值4所以r(x)在上单调递增，在上单调递减r(x)在（0，3）上有唯一的一个极大值，即最大值，故综上所述，所求实数a的取值范围为