1、【高效整合篇】专题二 函数第3讲 函数与方程、函数模型的应用一考场传真1.【2015高考湖北，文13】函数的零点个数为_.【答案】.【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，即函数与的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图像有2个交点.2.【2015高考湖南，文14】若函数有两个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由函数有两个零点，可得有两个不等的根，从而可得函数函数的图象有两个交点，结合函数的图象可得，故答案为：.3.【2015高考天津，文8】已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5【答案】A【解析】当时,
2、所以,此时函数 的小于零的零点为 ;当 时, ,函数无零点;当 时, ,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A.4.【2015高考四川，文8】某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：)满足函数关系(为自然对数的底数，为常数).若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是( )(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时【答案】C【解析】由题意，得，于是当x33时，ye33kb(e11k)3eb19224(小时)5.【2015高考江苏，13】已知函数，则方程实根的个数为 【答案】4【解析】由题意得：求函数与交点个数以及函数与交
3、点个数之和，因为，所以函数与有两个交点，又，所以函数与有两个交点，因此共有4个交点6.【2015高考上海，文21】如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.【答案】（1），（2），不超过.【解析】解：（1）记乙到时甲所在地为，则千米在中，所以（千米）.（2）甲到达用时小时；乙到达用时小时，从到总用时小时当时，；
4、当时，.所以.因为在上的最大值是，在上的最大值是，所以在上的最大值是，不超过.二高考研究1.考纲要求 了解函数的概念，能判断函数在某个区间上是否存在零点，了解指数函数，对数函数以及幂函数的变化特征，能利用给定的函数模型解决简单的实际问题,2.命题规律 通过分析近几年的高考试题可以看到对函数与方程的考查主要体现在以下几个方面:一、结合函数与方程的关系,求函数的零点;二、结合根的存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断;三、利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或范围.对函数的实际应用问题的考查,主要体现在以下几个方面:一、二次函数模型的建立及最值;二、分段函数模型
5、的建立及最值、指数函数、对数函数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题.多以解答题为主.一基础知识整合1.利用函数零点个数求参数取值范围的方法解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.常见的方法如下:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解.此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况,特别注意边界值的取舍.2.关于解决函数的实际应用
6、问题,首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去.3.对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法.二高频考点突破考点1 函数与方程【例1】【2015浙江嘉兴学测试（一），文7】已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（ ）A B C D分析：画出函数的图象，即可求解【解析】令，则得或.则有或. 画出函数的图像如下：由图像可知若函数有四个零点，则方程与应满足都有两个根，所以即。【举一反三】【2015浙江宁波市鄞州5月模拟，文8】设函数，则当实数变化时，方程的根的个数不可能为（ ）个.A B C4 D5【答案】A
7、【解析】作出函数的图象如下图所示：当时，与函数的图象交点的横坐标为，则，与函数的图象交点有三个；当时，与函数的图象交点的横坐标为，与函数的图象交点有三个；与函数的图象交点有一个；这时方程共有个解；当时，与函数的图象交点有3个，其的横坐标分别为，则，函数与函数的图象交点有1个，函数与函数的图象交点有1个，函数与函数的图象交点有2个，这时方程共有4个解；当时，与函数的图象交点有3个，其的横坐标分别为，则，函数与函数的图象交点有1个，函数与函数的图象交点有2个，函数与函数的图象交点有2个，这时方程共有5个解；当时，与函数的图象交点有2个，其的横坐标分别为，则，函数与函数的图象交点有1个，函数与函数的
8、图象交点有2个，这时方程共有3个解；综上，方程根的个数不可能为，故选A.【例2】【2015浙江诸暨质检，理7】已知是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为 ( )A.B. C. D. 【答案】.【解析】设，则，所以，所以.于是，当时，所以，所以即，所以；当时，所以，所以即，且，即，所以或，且或，综上所述，不等式的解集为，故应选.【举一反三】【2015浙江第一次五校联考】已知函数，则函数的所有零点之和是（ ）A. B. C. D. 【答案】B.【解析】由得或，由得，由，得，函数的所有零点之和是，则选B.考点2 函数模型的实际应用【例3】【2015北京朝阳一模】稿酬所得以个人每次取得的收入，定额
9、或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1） 每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额800）20%（130%）；（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额（120%）20%（130%）.已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为 元分析：根据实际问题构建相应的数学模型，即可求解.解析：由题可知，当纳税280元时，代入第一个计算公式中，可得出，此时每次收入额为2800元，因为280040
10、00，故满足题意，而代入到第二个计算公式中，得到，此时每次收入额为2500元，因为25004000，故不满足题意，舍去；所以答案应填：2800.【举一反三】随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(1402a420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解析：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y(2ax)(b0.01bx)0.4bxx22(a70
11、)x2ab.依题意得2ax2a，所以0x.又1402a420，即70a210.(1)当0a70，即70，即140a210时，x，y取到最大值故当70a140时，公司应裁员(a70)人，经济效益取到最大，当140a210时，公司应裁员人，经济效益取到最大三错混辨析1.无法正确画出函数图象.【例1】【2015浙江鄞州区5月模拟】已知定义在上的函数满足:;； 当时，；则函数在区间上的零点个数为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8【错原】：无法正确画出函数图象. 【正解】：由得函数的图象关于点对称，由得函数的图象关于直线对称，作出函数在上的图象，由对称性作出函数在区间上的图象，再在同一坐标系内作出函
12、数的图象，由图象可知函数在区间有5个零点,故选A.1.【2015浙江镇海中学模拟】设函数，则函数的零点个数为（ ）A.B. C. D.【答案】.【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，即方程的根的个数，即函数与函数的图像的交点的个数. 于是分别画出函数与函数的图像如下图所示，观察可知其交点的个数有个，故应选.2.【2015浙江宁波5月模拟】已知 则 ；若关于x的方程f(x)=ax+1恰有三个不同的解，则实数a的取值范围为 .【答案】【解析】；当时，此时，当时，则，作出函数的图象如图：若于的方程恰有三个不同的解，则等价为函数与恰有三个不同的交点，直线过定点， 当直线过点时，此时，解得，此时直
13、线和有4个交点；当直线经过点 时，即 ，解得，当直线与相切时，即，由判别式 ，解得（舍去）或，此时直线和有4个交点；当直线过点时，此时，如图直线和有2个交点，综上要使两个函数的图象恰有三个不同的交点，则直线满足在DC和DA之间，或在切线和DB之间，即，或 即3.【2015浙江嘉兴教学测试（二）】设，其中若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则的取值范围为( )ARB CD【答案】D【解析】设，由条件知二次函数的对称轴不能在y轴的左侧即，且两个函数的图象在轴上交于同一点，即，所以，在上有解，从而，故答案为D.4.【2015浙江衢州4月质检】已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，且所有实数根之和为，则实数的取值范围为_ _【答案】【解析】设.因为，所以的图象关于直线对称.设的4个根为，则，由题设知，的最小值为，作出的图象如图所示，由图可知的范围为.5.【2015山东实验中学10月月考】设函数，若恰有个零点，则实数的取值范围是 【答案】或.【解析】当时，在区间上无零点，在区间上无零点，不符合题意；当时，在区间上有一个零点，在区间上无零点，不符合题意；当时，在区间上有一个零点，在区间上有一个零点，符合题意；当时，在区间上有一个零点，在区间上有两个零点，不符合题意；当时，在区间上无零点，在区间上有两个零点，符合题意；综上，的取值范围为或.