1、第3讲算法与平面向量研考点考向破重点难点考点1 算法考法全练1(2019高考全国卷)执行如图的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于()A2 B2C2 D2解析：选C0.01，x1，s0，s011，x，x不成立；s1，x，x不成立；s1，x，x不成立；s1，x，x不成立；s1，x，x不成立；s1，x，x不成立；s1，x，x19满足条件，退出循环，输出S.故该程序框图的功能是求S1的值，故选C4(2019开封模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x为()A1 B0C1或1 D1或0解析：选D由得x1；由得x0.故选D5(2019长春市质量监测(一)我国古代数学著作九章
2、算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升)问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S15(单位：升)，则输入的k的值为()A45 B60C75 D100解析：选B依题意知，n1，Sk，满足条件n4，执行循环体，n2，Sk；满足条件n4，执行循环体，n3，S；满足条件n4，执行循环体，n4，S，此时不满足条件n0)，则x()x()x.因为，与不共线，所以，x，所以.答案：规律方法平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法
3、则，紧密结合图形的几何性质进行运算(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b0时，ab存在唯一实数，使得ab)来判断提醒向量线性运算问题的2个关注点(1)注意尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)注意结论的使用：O为直线AB外一点，若点P在直线AB上，则有(1)；若点P满足，则有. 考点3 平面向量的数量积考法全练1(2019高考全国卷)已知(2，3)，(3，t)，|1，则()A3 B2C2 D3解析：选C因为(3
4、，t)(2，3)(1，t3)，|1，所以1，所以t3，所以(1，0)，所以21302.故选C2(2019高考全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A B C D解析：选B由(ab)b，可得(ab)b0，所以abb2.因为|a|2|b|，所以cosa，b.因为0a，b，所以a与b的夹角为.故选B3(一题多解)(2019安徽五校联盟第二次质检)在ABC中，AB3，AC2，BAC120，点D为BC边上一点，且2，则()A BC1 D2解析：选C法一：因为2，所以2()，所以，则232321，故选C法二：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
5、如图所示则A(0，0)，B(3，0)，C(1，)，因为2，所以(4，)，则D，所以(3，0)，则301，故选C4(一题多解)(2019长春市质量监测(二)如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若|2，则|()A3 B5C D解析：选D法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，E(2，1)设|x，则F(x，2)，故(x，2)，(2，1)因为|2，所以(x，2)(2，1)2x25，解得x，所以|，故选D法二：连接EF，因为|cosEAF|2，所以|cosEAF|，所以EFAE.因为E是BC的中点，所以BE
6、CE1.设DFx，则CF2x.在RtAEF中，AE2EF2AF2，即2212(2x)21222x2，解得x，所以AF.故选D5(2019高考全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_解析：由题意，得cosa，c.答案：6已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|b|1，|c|3，则|abc|_解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|abc|2a2b2c22ab2bc2ac119211cos 213cos 213cos 4，所以|abc|2.答案：2规律方法平面向量数量积问题的难点突破(1)借“底”数字化，要先选取一组合适的
7、基底，这是把平面向量“数化”的基础(2)借“系”坐标化，数形结合，建立合适的平面直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标运算 考点4 平面向量在几何中的应用考法全练1(一题多解)(2019郑州市第二次质量预测)在RtABC中，C90，CB2，CA4，P在边AC的中线BD上，则的最小值为()A B0C4 D1解析：选A通解：因为BC2，AC4，C90，所以AC的中线BD2，且CBD45.因为点P在边AC的中线BD上，所以设(01)，如图所示，所以()()22|cos 1352(2)28248，当时，取得最小值，故选A优解：依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示
8、的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为yx2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2t)，(0t2)，所以(t，2t)，(t，t)，所以t2t(2t)2t22t2，当t时，取得最小值，故选A2(一题多解)(2019武汉市调研测试)在ABC中，0，|4，|5，D为线段BC的中点，E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则()A BC D7解析：选A法一：()()514516.故选A法二：依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，因为|5，所以C(0，3)，D，易知直线BC的斜率为，因为直线DE是线段BC的垂直平分线，所以直线DE
9、的斜率为，所以直线DE的方程为y(x2)，令x0得y，所以直线DE与y轴的交点坐标为，不妨令E，因为(4，3)，所以(4，3)，故选A3(一题多解)(2019高考江苏卷)如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE2EA，AD与CE交于点O.若6，则的值是_解析：法一：如图，过点D作DFCE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点，又BE2EA，则知EFEA，从而可得AOOD，则有()，所以6()()22，整理可得232，所以.法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，D.O.因为6，所以(3，0)(a
10、，b)6(a1，b)，即3a6，所以a2b23，所以AC，所以.答案：规律方法用向量解决平面几何问题的3个步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题(3)把运算结果“翻译”成几何关系提醒关注2个常用结论的应用(1)ABC中，AD是BC边上的中线，则()(2)ABC中，O是ABC内一点，若0，则O是ABC的重心练典型习题提数学素养一、选择题1(2019广东六校第一次联考)在ABC中，D为AB的中点，点E满足4，则()A BC D解析：选A因为D为AB的中点，点E满足4，
11、所以，所以()，故选A2(2019武昌区调研考试)已知向量a(2，1)，b(2，x)不平行，且满足(a2b)(ab)，则x()A BC1或 D1或解析：选A因为(a2b)(ab)，所以(a2b)(ab)0，所以|a|2ab2|b|20，因为向量a(2，1)，b(2，x)，所以54x2(4x2)0，解得x1或x，因为向量a，b不平行，所以x1，所以x，故选A3(2019广州市综合检测(一)a，b为平面向量，已知a(2，4)，a2b(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于()A BC D解析：选B设b(x，y)，则有a2b(2，4)(2x，2y)(22x，42y)(0，8)，所以，解得，故b(1，2)
12、，|b|，|a|2，cosa，b，故选B4(2019湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a(a2b)0，则|ab|()A BC2 D解析：选A由题意知，a(a2b)a22ab12ab0，所以2ab1，所以|ab|.故选A5(2019湖南省五市十校联考)执行如图所示的程序框图，其中tZ.若输入的n5，则输出的结果为()A48 B58C68 D78解析：选B输入的n5，则a2874；n7，a38753；n9，a48766；n11，a58782.退出循环，输出的结果为58.故选B6已知向量a与b的夹角为120，且|a|b|2，则a在ab方向上的投影为()A1 BC D解析：选B
13、由向量的数量积公式可得a(ab)|a|ab|cosa，ab，所以a在ab方向上的投影|a|cosa，ab.又ab|a|b|cosa，b22cos 1202，所以|a|cosa，ab，故选B7(2019湖南省湘东六校联考)执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为63，则判断框中应填入的条件为()Ai4 Bi5Ci6 Di7解析：选B初始值，S1，i1，第一次循环，S3，i2；第二次循环，S7，i3；第三次循环，S15，i4；第四次循环，S31，i5，第五次循环，S63，i6，此时退出循环，输出S63.结合选项知判断框中应填入的条件为i5，故选B8(一题多解)(2019贵阳模拟)如图，在直角梯形A
14、BCD中，AB4，CD2，ABCD，ABAD，E是BC的中点，则()()A8 B12C16 D20解析：选D法一：设a，b，则ab0，a216，ba，()ab，所以()aaa2aba220，故选D法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设ADt(t0)，则B(4，0)，C(2，t)，E，所以()(4，0)(4，0)20，故选D9(2019蓉城名校第一次联考)已知n等于执行如图所示的程序框图输出的结果S，则的展开式中常数项是()A10 B20C35 D56解析：选B执行程序框图，i0，S0，i011，满足i4；S011，i112，满足i4；S123，i213，满足i4，S336，i3
15、14，不满足i4退出循环，输出的S6.所以n6，二项式的展开式的通项Tr1Cx6rCx62r，令62r0r3，所以二项式的展开式的常数项为T4C20.故选B10在如图所示的矩形ABCD中，AB4，AD2，E为线段BC上的点，则的最小值为()A12 B15C17 D16解析：选B以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0x2)，所以(x，4)(x2，4)x22x16(x1)215，于是当x1，即E为BC的中点时，取得最小值15，故选B11(2019济南模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为
16、(sin )sin ，(sin )cos ，(cos )sin ，其中，则输出的x为()A(cos )cos B(sin )sin C(sin )cos D(cos )sin 解析：选C该程序框图的功能是输出a，b，c中的最大者当时，0cos sin 1.由指数函数y(cos )x可得，(cos )sin (cos )cos .由幂函数yxcos 可得，(cos )cos (sin )cos ，所以(cos )sin (sin )cos .由指数函数y(sin )x可得，(sin )sin 0)上，如图，数形结合可知|ab|min|1.故选A法二：由b24eb30得b24eb3e2(be)(b
17、3e)0.设b，e，3e，所以be，b3e，所以0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图设a，作射线OA，使得AOE，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.故选A二、填空题13已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_解析：2ab(4，2)，因为c(1，)，且c(2ab)，所以124，即.答案：14(2019济南市学习质量评估)已知|a|b|2，ab0，c(ab)，|dc|，则|d|的取值范围是_解析：不妨令a(2，0)，b(0，2)，则c(1，1)设d(x，y)，则(x1)2(y1)22，点(x，y)在以点(1，1)为圆心、为半径的圆上，|d|表示点(x，y)到坐标原点的距离，故|d|的取值范围为0，2答案：0，215执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是_解析：k1，S2，k2，S246，k3，S6612，k4，S12820，k5，S201030，k6，S301242，k7，此时不满足S42m，退出循环，所以30m42.答案：(30，4216在ABC中，(3)，则角A的最大值为_解析：因为(3)，所以(3)0，(3)()0，24320，即cos A2，当且仅当|时等号成立因为0A，所以0A，即角A的最大值为.答案：