1、练典型习题提数学素养一、选择题1(2019合肥市第一次质量检测)平面外有两条直线a，b，它们在平面内的投影分别是直线m，n，则下列命题正确的是()A若ab，则mnB若mn，则abC若mn，则abD若m与n相交，则a与b相交或异面解析：选D对于选项A，当直线a，b相交，且所在平面与平面垂直时，直线m，n重合，故A不正确；对于选项B，不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，AD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的投影分别为AB，AD，记为m，n，此时mn，但a与b不垂直，故B不正确；对于选项C，不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，CD1
2、，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的投影分别为AB，CD，记为m，n，此时mn，但a与b不平行，故C不正确；对于选项D，若m与n相交，则a与b不可能平行，只能是相交或异面，故D正确，选D2(2019江西七校第一次联考)已知直线m，n，平面，命题p：若，m，则m；命题q：若m，m，n，则mn.下列是真命题的是()ApqBp(q)Cp(q) D(p)q解析：选D对于命题p，若，m，则还需m才能推出m，所以命题p为假命题，命题p为真命题；对于命题q，若m，m，n，由线面平行的性质可推出mn，所以命题q为真命题，命题q为假命题，所以(p)q为真命题，故选D3.如图，在三棱锥DABC中，若A
3、BCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：选C因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C4(2019长春市质量监测(一)在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为()A1 BC D解析：选D由题意画出图形如图所示，取AD1的中点为O，连接OC1，OA
4、1，易知OA1平面ABC1D1，所以A1C1O是直线A1C1与平面ABC1D1所成的角，在RtOA1C1中，A1C12OA1，所以sinA1C1O.故选D5(2019江西省五校协作体试题)如图，圆锥的底面直径AB4，高OC2，D为底面圆周上的一点，且AOD，则直线AD与BC所成的角为()A BC D解析：选B如图，过点O作OEAB交底面圆于E，分别以OE，OB，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为AOD，所以BOD，则D(，1，0)，A(0，2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，(，3，0)，(0，2，2)，所以cos，则直线AD与BC所成的角为，故选B6.如图，在矩形A
5、BCD中，AB，BC1，将ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A2 B3C4 D5解析：选B如图，设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E平面ABC，因为D1E平面ABD1，所以平面ABD1平面ABC.因为D1E平面ABC，BC平面ABC，所以D1EBC，又ABBC，D1EABE，所以BC平面ABD1，又BC平面BCD1，所以平面BCD1平面ABD1，因为BC平面ABD1，AD1平面ABD1，所以BCAD1，又CD1AD1，BCCD1C，所以AD1平面BCD1，又AD1平
6、面ACD1，所以平面ACD1平面BCD1.所以共有3对平面互相垂直故选B二、填空题7(2019沈阳市质量监测(一)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号)BD平面CB1D1；AC1平面CB1D1；异面直线AC与A1B成60角；AC1与底面ABCD所成角的正切值是.解析：对于，BDB1D1，BD平面CB1D1，B1D1平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，正确；对于，因为AA1平面A1B1C1D1，所以AA1B1D1，连接A1C1，又A1C1B1D1，所以B1D1平面AA1C1，所以B1D1AC1，同理B1CAC1，所以AC1平面CB1D1，正确
7、；对于，易知ACA1C1，异面直线AC与A1B所成角为BA1C1，连接BC1，又A1C1B为等边三角形，所以BA1C160，异面直线AC与A1B成60角，正确；对于，AC1与底面ABCD所成角的正切值是，故不正确故正确的结论为.答案：8(2019武汉市调研测试)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点A关于平面BDC1的对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为_解析：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，正方体的棱长为1，在正方体ABCDA1B1C1D1下面补一个棱长为1的正方体ABCDA2B2C2D2，连接A2C2，B2D2，AC2，设B2D2A2C2E，连接CE交AC2于M(即
8、A关于平面BDC1的对称点)，易得M，所以点M到平面A1B1C1D1的距离为1.法二：依题意，点M在平面ACC1A1上，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知得A，C1，直线OC1的方程为yx，其斜率为，因为点A关于直线OC1的对称点为M，设M(a，b)，所以，解得，所以点M到直线A1C1的距离为1，所以点A关于平面BDC1的对称点M到平面A1B1C1D1的距离为.答案：9在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD4，AA12.过点A1作平面与AB，AD分别交于M，N两点，若AA1与平面所成的角为45，则截面A1MN面积的最小值是_解析：如图，过点A作AEMN，连接A1E，因为A1A平面ABC
9、D，所以A1AMN，所以MN平面A1AE，所以A1EMN，平面A1AE平面A1MN，所以AA1E为AA1与平面A1MN所成的角，所以AA1E45，在RtA1AE中，因为AA12，所以AE2，A1E2，在RtMAN中，由射影定理得MEENAE24，由基本不等式得MNMEEN24，当且仅当MEEN，即E为MN的中点时等号成立，所以截面A1MN面积的最小值为424.答案：4三、解答题10.如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD、BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明：(1)在平面ABD内，因为ABAD
10、，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD且BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又因为ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.11.如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明：(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.因为F为CD的中点，所以GFDE且GFDE.因为AB平
11、面ACD，DE平面ACD，所以ABDE，所以GFAB.又因为ABDE，所以GFAB.所以四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF平面BCE.(2)因为ACD为等边三角形，F为CD的中点，所以AFCD.因为DE平面ACD，AF平面ACD，所以DEAF.又CDDED，所以AF平面CDE.因为BGAF，所以BG平面CDE.又因为BG平面BCE，所以平面BCE平面CDE.12如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体(1)求证：AB平
12、面ADC；(2)若AD1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离解：(1)证明：因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又DCBD，DC平面BCD，所以DC平面ABD.因为AB平面ABD，所以DCAB.又因为折叠前后均有ADAB，且DCADD，所以AB平面ADC.(2)由(1)知DC平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成的角依题意知tan CAD，因为AD1，所以DC.设ABx(x0)，则BD，易知ABDDCB，所以，即，解得x，故AB，BD，BC3.由于AB平面ADC，所以ABAC，又E为BC的中点，所以由平面几何知识得AE，同理DE，所以SADE1 .因为DC平面ABD，所以VA-BCDCDSABD.设点B到平面ADE的距离为d，则dSADEVB-ADEVA-BDEVA-BCD，所以d，即点B到平面ADE的距离为.