1、第3讲圆锥曲线的综合问题(限时45分钟，满分48分)解答题(本大题共4小题，每小题12分，共48分)1(2019乌鲁木齐质检)已知F是椭圆y21的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点M是AB的中点，直线OM与直线x2交于点N.(1)求证：0；(2)求四边形OANB面积的最小值解析(1)证明当直线AB斜率不存在时，直线AB与x轴垂直，ABFN，0，当直线AB斜率存在时，设斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0，y0，联立得(12k2)x24k2x2k220，得x1x2，x1x2，x0，y0，所以直线的方程为y，N，又F(1，0)
2、，kFN，ABFN，0.(2)当直线AB斜率不存在时，直线AB与x轴垂直，S四边形OANB|AB|ON|2，当直线AB斜率存在时，S四边形OANBSOABSNAB，设点O到直线AB的距离为d1，点N到直线AB的距离为d2，则d1，d2|FN|，|AB|S四边形OANBSOABSNABd1|AB|d2|AB|AB|(d1d2) ，所以四边形OANB面积的最小值为.2(2019开封三模)已知椭圆C：1 (ab0)的上顶点与左、右焦点的连线构成面积为的等边三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)过C的右焦点F作斜率为k的直线l1与C交于A，B两点，直线l：x4与x轴交于点E，M为线段EF的中点，过点B
3、作直线BNl于点N.证明：A，M，N三点共线解析(1)记椭圆C的焦距为2c，则解得a2，b.椭圆C的方程为1.(2)证明F(1，0)，设直线l的方程为yk(x1), 代入椭圆方程，得(34k2)x28k2x4k2120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，易知M，N(4，y2)，kAM，kMN，2y23y12k(x21)3k(x11)k2x1x25(x1x2)8k0，kAMkMN，A，M，N三点共线3(2019贵阳适应性考试)过点M(2，0)的直线l与抛物线C：y22px(p0)交于A，B两点，O为坐标原点，OAOB.(1)求p的值；(2)若l与坐标轴不平行，且A关于x
4、轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点解析(1)当直线lx轴时，可得A(2，2)，B(2，2)，由OAOB得44p0，p1，当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)，代入y22px得ky22py4pk0，(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24p，x1x24，由OAOB得x1x2y1y20，即44p0，p1，综上所述p1.(2)证明由(1)知抛物线方程为y22x，由于A，D关于x轴对称，故D的坐标为(x1，y1)，所以直线BD的方程为yy1(xx1)，即2x(y1y2)yy1y20，又y1y24p4，所以2x(y1y2)y40，直线BD恒过点(2，0)4(2019南宁
5、一模)设D是圆O：x2y216上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|ED|.当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知点P(2，3)，过F(2，0)的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x8于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由解析(1)设点Q(x，y)，D(x0，y0)，因为2|EQ|ED|，点Q在直线m上，所以x0x，|y0|y|.因为点D在圆O：x2y216上运动，所以xy16.将式代入式，得曲线C的方程为1.(2)由题意可知l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，令x8，得M的坐标为(8，6k)由，得(4k23)x216k2x16(k23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，从而k1，k2，k3k.因为直线AB的方程为yk(x2)，所以y1k(x12)，y2k(x22)，所以k1k232k3.把代入，得k1k22k32k1.又k3k，所以k1k22k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列