1、课时分层作业(十)等比数列前n项和的性质及应用(建议用时:40分钟)一、选择题1等比数列an的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列若a11,则S4等于()A7 B8C15D16C由题意得4a24a1a3,4a1q4a1a1q2,q2,S415.2设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和已知a2a41,S37,则S5等于()A B C DB显然公比q1,由题意得解得或S5.3设各项都是正数的等比数列an,Sn为其前n项和,且S1010,S3070,那么S40等于()A150B200C150或200D400A依题意,数列S10,S20S10,S30S20,S40S30成等比数列,
2、因此有(S20S10)2S10(S30S20)即(S2010)210(70S20),解得S2020或S2030,又S200,因此S2030,S20S1020,S30S2040,故S40S3080,S40150.故选A.4设数列xn满足log2xn11log2xn(nN*),且x1x2x1010 ,记xn的前n项和为Sn,则S20等于()A1 025B1 024C10 250D20 240Clog2xn11log2xnlog2(2xn),xn12xn,且xn0,xn为等比数列,且公比q2,S20S10q10S10102101010 250,故选C.5已知公差d0的等差数列an 满足a11,且a2
3、,a42,a6成等比数列,若正整数m,n满足mn10,则aman()A30B20C10D5或40A设等差数列的公差为d,因为a2,a42,a6成等比数列,所以(a42)2a2a6,即(a13d2)2(a1d)(a15d),即(3d1)2(1d)(15d),解得d0或d3,因为公差d0,所以d3,所以amana1(m1)da1(n1)d(mn)d10d30,故选A.二、填空题6在数列an中,an1can(c为非零常数),且前n项和为Sn3nk,则实数k_.1由an1can知数列an为等比数列又Sn3nk,由等比数列前n项和的特点SnAqnA知k1.7等比数列an共有2n项,它的全部各项的和是奇数
4、项的和的3倍,则公比q_.2设an的公比为q,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,S2n,S奇.由题意得.1q3,q2.8设an是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和已知S1,S2,S4成等比数列,且a35,则数列an的通项公式为an_.2n1设等差数列an的公差为d,(d0),则S152d,S2103d,S4202d,因为SS1S4,所以(103d)2(52d)(202d),整理得5d210d0,d0,d2,ana3(n3)d52(n3)2n1.三、解答题9一个项数为偶数的等比数列,全部项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求该等比数列的通项公式解设数列an的首项为a1
5、,公比为q,全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇,S偶,由题意,知S奇S偶4S偶,即S奇3S偶数列an的项数为偶数,q.又a1a1qa1q264,aq364,得a112.故所求通项公式为an12.10在等差数列an中,a24,a4a715.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn2an2n,求b1b2b3b10的值解(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn,所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101.11(多选题)已知Sn是公比为q的等比数列an
6、的前n项和,若q1,mN*,则下列说法正确的是()A1B若9,则q2C若9,则m3,q2D若9,则q3ABCq1,1qm.而qm,A正确;B中,m3,q319,解得q2.故B正确;C中,由1qm9,得qm8.又qm8,得m3,q2,C正确;D中,q39,q3,D错误,故选ABC.12在各项都为正数的数列an中,首项a12,且点(a,a)在直线x9y0上,则数列an的前n项和Sn等于()A3n1 BCDA由点(a,a)在直线x9y0上,得a9a0,即(an3an1)(an3an1)0,又数列an各项均为正数,且a12,an3an10,an3an10,即3,数列an是首项a12,公比q3的等比数列
7、,其前n项和Sn3n1.13(一题两空)等比数列an的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,则这个等比数列的公比q_,又令该数列的前n项的积为Tn,则Tn的最大值为_2设数列an共有2m1项,由题意得S奇a1a3a2m1,S偶a2a4a2m,S奇a1a2qa2mq2q(a2a4a2m)2q,q.Tna1a2anaq12n12,故当n1或2时,Tn取最大值,为2.14(一题两空)设数列1,(12),(1222),(12222n1),的第n项为an,前n项和为Sn,则an_,Sn_.2n12n1n2因为an12222n12n1,所以Sn(222232n)nn2n1n2.15设数列an的前n项和为Sn.已知S24,an12Sn1,nN*.(1)求通项公式an;(2)求数列|ann2|的前n项和解(1)由题意得则又当n2时,由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an,得an13an,故an3n1(n2,nN*),又当n1时也满足an3n1,所以数列an的通项公式为an3n1,nN*.(2)设bn|3n1n2|,nN*,b12,b21.当n3时,由于3n1n2,故bn3n1n2,n3.设数列bn的前n项和为Tn,则T12,T23.n3时,Tn3.Tn