1、北京市房山区2020届高三数学下学期衔接诊断测试（二模）试题（二）本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，集合，那么集合（A）（B）（C）（D）（2）在中，若，则（A）（B）（C）（D）（3）函数的最小正周期为（A）（B）（C）（D）（4）若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）（5）函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）（6）“”是“
2、”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知函数，则（A）是奇函数，且在上是增函数（B）是奇函数，且在上是减函数（C）是偶函数，且在上是增函数（D）是偶函数，且在上是减函数（8）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（A）（B）（C）（D）（9）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数现有的物体，放在的空气中冷却，分钟以后物体的温度是，则约等于（参考数据：）（A）（B）（C）（D）（10）李明自主创业种植有机蔬菜，并且
3、为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（A）（B）（C）（D） 第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）若（），则 （12）若直线与圆相切，则 （13）已知抛物线:的焦点为，点在抛物线上，则点的横坐标是 ，（为坐标原点）的面积为 （14）已知正方形的边长为，若，则的值为 （15）对任意两实数，定义运算“”：给出下列三个结论：存在实数，使得成立；函数的值域为；不等式的解集是其中正确结论的序号是 注：本题给出的结论中，有多个符合题目
4、要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，平面平面，点为棱的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值（17）（本小题14分）已知数列的前项和为， 是否存在正整数（），使得成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由从， 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 （18）（本小题14分）“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在时，时，时，时公布实时在园人数下表
5、记录了月日至日的实时在园人数：日日日日日日日时在园人数时在园人数时在园人数时在园人数通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是万人 （）甲同学从月日至日中随机选天的下午时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率； （）从月日至日中任选两天，记这两天中这个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为，求的分布列和数学期望；（）根据月日至日每天时的在园人数，判断从哪天开始连续三天时的在园人数的方差最大？ （只需写出结论）（19）（本小题14分）已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为（）求椭圆的方程；（）设为原点，
6、点在椭圆上，点和点关于轴对称，直线与直线交于点，求证：，两点的横坐标之积等于，并求的取值范围（20）（本小题15分）已知函数 （）求函数的定义域；（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时， （21）（本小题14分）已知集合的元素个数为 且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，即，其中，且满足，则称集合为“完美集合”（）若集合，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；（）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；（）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或 房山区2020年第二次模拟检测答案高三数学一、选择题（每小题4分，共40分）题号12345
7、678910答案DCACBACCDB二、填空题（每小题5分，共25分，有两空的第一空3分，第二空2分）（11）（12）（13）；（14）（15）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题14分）解：（）平面平面，平面平面 又， 平面， （有前面的，才得分），平面， 平面， 又是正方形， （有前面的，才得分）（）由两两垂直，如图建立直角坐标系 ， ， 设平面的法向量为，则有即 令，得 设直线与平面所成角为，所以 （17）（本小题14分）解：选择由，得，得， 因为，所以是以1为首项，2为公比的等比数列 所以 所以 若成等比数列，则 即化简得 解得因为为正整数且，所以不存在 选择当， 因为符合
8、上式，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列 所以 若成等比数列，则 即 因为为正整数且，所以解得 选择当， 因为符合上式，所以 是以1为首项，2为公差的等差数列 所以， 若成等比数列，则 即 因为为正整数且，所以解得 （18）（本小题14分）（）由题意知，若舒适度为“舒适”，则在园人数不大于万， 所以月日至日中下午时舒适度为“舒适”的天数为天， 因此甲同学从月日至日中随机选天的下午时去该景区游览，遇上“舒适”的概率为 （）这记这两天中这个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为，则的可能取值为 月日至日中这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有天，则 的分布列为所以的期望 （）从月日开始连续三天的在
9、园人数的方差最大 （19）（本小题14分）解：（） 设椭圆的方程为. 依题意，. 得，. 所以，椭圆的方程为. （）依题意，可设（且），则. 点在椭圆上，则， 的斜率为，直线方程为， 的斜率为，直线的方程为. 设，由 得，所以的坐标为. 所以，的横坐标之积等于. ， 由， 所以，的取值范围是. （20）（本小题15分）解：（）由，得 所以的定义域为 （） （） 所以，曲线在点处的切线方程为 （）法一：由， 令，则 当时，则在上单调递增，且 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 的极小值为 所以，当时， 法二：当时，；当时，所以当时，单调递减， 当时，所以当时，单调递增， 的极小值为 所以，当时， （21）（本小题14分）解：（）将分为集合满足条件，是完美集合 将分成个，每个中有两个元素，若为完美集合，则，中所有元素之和为，不符合要求； （）若集合，根据完美集合的概念知集合， 若集合，根据完美集合的概念知集合， 若集合，根据完美集合的概念知集合， 故的一个可能值为中任一个； （）证明：P中所有元素之和为 ，等号右边为正整数， 则等式左边可以被整除， 或，即或