1、热点(九)球1(四棱柱外接球体积)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.B4C2D.答案：D解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r1，所以V球13，故选D.2(三棱柱外接球)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2 C. D3答案：C解析：如图，过球心作平面ABC的垂线，则垂足为线段BC的中点M.易知AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA，故选C.3(球体体积)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，现将一个
2、球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3答案：A解析：设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R2) cm，所以由42(R2)2R2，得R5，所以球的体积VR353 cm3，故选A.4(球与三视图)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A.B4C3 D以上都不对答案：A解析：由题意可知该几何体是轴截面为正三角形的圆锥，底面圆的直径为2，高为，外接球的半径r，外接球的表面积为42，故选A.5(球与圆锥)
3、如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. B.C. D.答案：A解析：该几何体可以看成是一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥所形成的组合体，所以该几何体的体积和半球的体积相等由题图可知，半球的半径为2，则该几何体的体积Vr3.故选A.6(三棱锥外接球体积)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A. B.C. D.答案：A解析：在直角三角形ASC中，AC1，SAC90，SC2，所以SA，同理SB.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为SACSBC
4、，所以BDSC，又因为BDADD，BD平面ABD，AD平面ABD，所以SC平面ABD，且ABD为等腰三角形，因为ASC30，所以ADSA，则ABD的面积为1 ，可得三棱锥的体积为2，故选A.7(三棱柱内切球最值)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B.C6 D.答案：B解析：由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的体积V最大，则需球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r，易知68(6810)r，所以r2，此时2r43，不合题意因此当球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R
5、最大，由2R3，得R，故球的最大体积VR3，故选B.8(球体表面积)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()A17 B18C20 D28答案：A解析：由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球切掉球(被过球心O且互相垂直的三个平面)所剩的组合体，其表面积是球面面积的和三个圆面积之和设球的半径为R，则R3R2.故几何体的表面积S4R2R217，故选A.9(三棱锥外接球体积)已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，且AB，ASCBSC30，则棱锥SABC的体积为()A3 B2C. D1答案：C解析：由题可知线段AB一定在与直
6、径SC所在直线垂直的小圆面上，作过线段AB的小圆面交直径SC于点D，设SDx，则DC4x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥SABD和CABD，在SAD和SBD中，由已知条件可得ADBDx，又因为SC为直径，所以SBCSAC90，所以DCBDCA60，在BDC中，BD(4x)，所以x(4x)x3，所以ADBDAB，即三角形ABD为正三角形，则VSABD4，故选C.10(三棱锥外接球表面积)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将ABE，ECF，FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是(
7、)A6 B12C18 D9答案：C解析：因为APEEPFAPF90，所以可将四面体补成一个长方体(PA，PE，PF是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R，由题意知2R3，故该球的表面积S4R24218，故选C.11(正方体内切球体积)设球O是正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6，则球O的半径为()A. B3C. D.答案：B解析：如图，易知直线B1D过球心O，且B1D平面ACD1，不妨设垂足为点M，正方体棱长为a，则球半径R，易知DMDB1，所以OMDB1a，所以截面圆半径ra，由截面圆面积Sr26，得ra，即a
8、6，所以球O的半径R3，故选B.12(三棱锥外接球表面积)已知正三棱锥SABC的顶点均在球O的球面上，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，若三棱锥的体积为2，则球O的表面积为()A16 B18C24 D32答案：A解析：设正三棱锥的底面边长为a，外接球的半径为R，因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为a，所以ADa，则AOADa，所以aR，即aR，又因为三棱锥的体积为2，所以a2R(R)2R2，解得R2，所以球的表面积S4R216，故选A.13(三棱锥外接球表面积)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC，则球O的表面积等于_答案：4解析
9、：将三棱锥SABC补成以SA、AB、BC为棱的长方体，易得其对角线SC为球O的直径，即2RSC2R1，所以表面积为4R24.14(圆柱外接球体积)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_答案：解析：画出圆柱的轴截面ABCD，如图，O为球心，则球半径ROA1，球心到底面圆的距离为OM，所以底面圆半径r，故圆柱体积V21.152019武汉市高中毕业生四月调研测试(四面体外接球半径)在四面体ABCD中，ADDBACCB1，则当四面体的体积最大时，它的外接球半径R_.答案：解析：当平面ADC与平面BCD垂直时，四面体ABCD的体积最大，因为ADAC1，所以可
10、设等腰三角形ACD的底边CD2x，高为h，则x2h21，此时四面体的体积V2xh2x(1x2)，则Vx2，令V0，得x，从而h，则CDAB，故可将四面体ABCD放入长、宽、高分别为a，b，c的长方体中，如图，则解得a2c2，b2，则长方体的体对角线即四面体ABCD的外接球直径，(2R)2a2b2c2，R.162019福州四校高三年级联考(三棱锥外接球体积)已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC3，BD，CBD90，则球O的体积为_答案：解析：设A到平面BCD的距离为h，三棱锥的体积为，BC3，BD，CBD90，3h，h2，球心O到平面BCD的距离为1.设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE平面CBD，BCD外接圆的直径CD2，球O的半径OD2，球O的体积为.