1、专题44 数列的性质【方法点拨】1.数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数，数列的函数性主要涉及数列的单调性（判断数列的增减性和确定数列中最大（小）项，求数列最值等）等；2.数列中的恒成立问题较函数中恒成立问题更难，但方法是想通的，一般都要分离参数，一般都要转化为研究单调性，但由于数列定义域是离散型变量,不连续，这给研究数列的单调性带来了难度,其一般解决方法是作差或作商.【典型题示例】例1 若不等式a7对一切正整数n都成立，则正整数a的最大值为_【答案】8【分析】要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式的最小值，可将其视为关于n的函数，通过单调性求解【解析】令f(n)(nN
2、*)，对任意的nN*，f(n1)f(n)0，所以f(n)在N*上是增函数又f(1)，对一切正整数n，f(n)a7都成立的充要条件是a7，所以aa7对一切正整数n都成立，则正整数a的最大值为_5.数列若对任意恒成立，则正整数m的最小值为 .6已知数列an的前n项和Sn3n(n)6，若数列an单调递减，则的取值范围是A(，2)B(，3)C(，4)D(，5)7已知数列的前项和满足.若对任意正整数都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD8已知数列的通项公式为，则数列中的最小项为（ ）.ABCD9已知数列满足：，若对任意的正整数，都有，则实数的取值范围（ ）ABCD10已知数列满足，若，使得成立，则
3、实数的取值范围是（ ） ABCD【答案与提示】1.【答案】8、9 【提示】，类比一次分式函数性质.2.【答案】10 【提示】，令解得.3.【答案】 4、5【提示】，利用对勾函数性质.4.【答案】8【分析】要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式的最小值，可将其视为关于n的函数，通过单调性求解【解析】令f(n)(nN*)，对任意的nN*，f(n1)f(n)0，所以f(n)在N*上是增函数又f(1)，对一切正整数n，f(n)a7都成立的充要条件是a7，所以a，故所求正整数a的最大值是8.5.【答案】10【提示】得，仿上题求最大值.6.【答案】A【解析】，因为单调递减，所以，所以，且，所以只需，且，所以，故选A7.【答案】C【解析】当时，即，得；当时，由，得，两式相减得，得，所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，.，由，得，所以，数列单调递增，其最小项为，所以，因此，实数的取值范围是，故选C8.【答案】C【解析】因为,所以,所以,当且仅当取“=”.又因为.当时,.当时,.所以数列中的最小项为.故选：C.9.【答案】B【解析】，又在区间上单调递增，实数的取值范围，故选：10.【答案】D【解析】,记,则是以,的等比数列,等价于，即令,则时,;时,.,.,实数的取值范围为,故选：D.
