1、考点规范练61古典概型与几何概型基础巩固1.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽大约为()A.80 mB.50 mC.40 mD.100 m答案:D解析:由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为5001-45=100(m).2.已知A=(x,y)|-1x1,0y2,B=(x,y)|1-x2y.若在区域A中随机地扔一粒豆子,则该豆子落在区域B中的概率为()A.1-8B.4C.4-1D.8答案:A解析:集合A=(x,y)|-1x1,0y2表示的区域是
2、正方形,其面积为4,集合B=(x,y)|1-x2y表示的区域在正方形内的部分为图中阴影部分,其面积为4-1212.故向区域A内随机地扔一粒豆子,则豆子落在区域B内的概率为4-124=1-8.3.“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深?芦苇有多长?其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为()A.1213B.113C.314D.213答案:B解析:设水深为x尺,根据勾股定理可得(x+1)2=x
3、2+52,解得x=12,则水深12尺,芦苇长13尺.根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为P=113,故选B.4.某停车场只有并排的8个停车位,恰好全部空闲,现有3辆汽车依次驶入,并且随机停放在不同车位,则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是()A.514B.1528C.914D.67答案:C解析:因为3辆车皆不相邻的情况有C63种,所以3辆车皆不相邻的概率为C63C83=514,因此至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是1-514=914.5.在RtABC中,三条边恰好为三个连续的自然数,以三个顶点为圆心的扇形的半径为1.若在ABC中随机地选取m个点,其中有n个点
4、正好在扇形里面,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.16nmB.12nmC.8nmD.6nm答案:B解析:由题意得RtABC的三条边恰好为三个连续的自然数,设三边分别为n,n+1,n+2,则n2+(n+1)2=(n+2)2,解得n=3.SABC=1234=6,以三个顶点为圆心的扇形的面积和为1212=2,由题意,得26=nm,=12nm.6.已知-1a1,-1b1,则函数y=lg(x2+2ax+b)的定义域为全体实数R的概率为()A.13B.23C.14D.15答案:A解析:由题意,得a,b满足的区域是边长为2的正方形,面积为4,而满足函数y=lg(x2+2ax+b)的定义域为全体
5、实数R的a,b范围是使x2+2ax+b取得所有正数,则=4a2-4b0,即ba2,在正方形内满足此范围的图形如图所示,面积为201(1-x2)dx=43,故所求的概率为434=13,故选A.7.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,则标号为1,2的卡片放入同一个信封的概率为.答案:15解析:由题意,将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,共有C62C42C22=90种.先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4张卡片中选两张放一个信封有C42=6种,余下放入最后一个信封,标号为1,2的卡片放入同一
6、个信封共有3C42=18种.标号为1,2的卡片放入同一个信封的概率为1890=15.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A1A2A8的中心,A1(1,0),任取不同的两点Ai,Aj,点P满足OP+OAi+OAj=0,则点P落在第一象限的概率是.答案:528解析:共有C82=28(种)基本事件,其中使点P落在第一象限共有C32+2=5(种)基本事件,故所求的概率为528.9.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为.答案:4891解析:求的概率为C62C51C41+C61C52C41+
7、C61C51C42C154=1520+640+63015137=4891.10.记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD的概率是.答案:59解析:由6+x-x20,即x2-x-60得-2x3,所以D=-2,3-4,5,由几何概型的概率公式得xD的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案:为59.能力提升11.从集合2,3,4中随机抽取两个数x,y,则满足logxy12的概率是()A.23B.12C.13D.16答案:D解析:logxy12,x,y2,3,4,yx.从集合2,3,4中随机抽取两个数x,y,所有的数对(x,y)共有32=6(个).满足yx
8、的数对(x,y)有(4,2),共1个,从集合2,3,4中随机抽取两个数x,y,满足logxy12的概率是16.12.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形.若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形的概率为15,则图中直角三角形较大锐角的正弦值为()A.55B.255C.15D.33答案:B解析:设小正方形的边长为1,直角三角形的直角边长分别为x,1+x,x2+(1+x)2.由几何概型可得12x2+(1+x)2=15,解得x=1(x=-2(舍).所以直角三角形的边长分别为1,2,5,直角三角形较大锐角的正弦值为25=255,故选B
9、.13.某酒厂制作了3种不同的精美卡片,每个酒盒随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获奖,现购买该种酒5瓶,能获奖的概率为()A.3181B.3381C.4881D.5081答案:D解析:假设5个酒盒各不相同,5个酒盒装入卡片的方法一共有35=243(种),其中包含了3种不同卡片有两种情况:即一样的卡片3张,另外两种不同的卡片各1张,有C5323=60(种)方法,两种不同的卡片各2张,另外一种卡片1张,有C513C42=156=90(种),故所求的概率为90+60243=5081.14.抛掷两枚质地均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,则使得直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过4
10、23的概率为.答案:19解析:根据题意,得到的点数所形成的数组(a,b)共有66=36(种),其中满足直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过423,则圆心到直线的距离不小于13,即11a2+b213,即1a2+b29的有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)四种,故直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过423的概率为436=19.15.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:307:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:008:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是.答案:78解析:以横坐标x表示报纸送到时间,纵坐标y表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系.因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为11-12121211=78.高考预测16.已知A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,则A与B在相邻两天值班的概率为.答案:23解析:A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,基本事件总数n=A33=6,A与B在相邻两天值班包含的基本事件个数m=A22A22=4,故A与B在相邻两天值班的概率P=mn=46=23.
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