1、常州市教育学会期末学业水平监测高二数学 2021年6月注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.3考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在棱长为的正方体中，分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD2三位同学各自写了一张明信片并分别署上自己的名字，将这三张明信片随机分给这三位同学，每人一张则“恰有
2、一位同学拿到自己著名的明信片”的概率为（ ）ABCD3已知的展开式中含的项的系数为，则实数（ ）ABCD4某校为调查学生参加研究性学习的情况，从全校学生中随机抽取名学生，其中参加“数学类”的有名，既参加“数学类”又参加“理化类”的有名，“数学类”和“理化类”都没有参加的有名，则该校参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是（ ）ABCD5位教师和位学生排成一排合影留念，师生相间的排法种数为（ ）ABCD6分析连续次实验的甲、乙两项指数，下面是这两项指数的折线图，则（ ）A这次实验中甲指数和乙指数均逐次增加B这次实验中甲指数的极差大于乙指数的极差C第次至第次实验中甲指数和乙
3、指数均超过D第次至第次实验中甲指数的增量小于乙指数的增量7展开式中项的系数为（ ）ABCD8已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“阶比增函数”若函数为“阶比增函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9小明用一枚质地均匀的硬币进行抛硬币实验，则下列说法正确的有（ ）A小明抛掷硬币次，则该硬币正面向上的概率为B小明连续抛掷硬币次，则恰有次正面向上的概率为C小明连续抛掷硬币次，则正面向上的次数恰好为次D随着抛掷次数的增加，硬币正面向上的次数与抛掷次数的比值在附近
4、摆动，并趋于稳定10数据的组测量值为，已知，若对的线性回归方程记作，则（ ）附：线性回归方程中，其中为样本平均值ABC与正相关D时，的估计值为11已知函数（为自然对数的底数），若，则（ ）ABC当时，D当时，12在正三棱锥中，设，则（ ）A的取值范围为（）B当时，正三棱锥的高为C变大时，正三棱锥的体积一定变大D变大时，正三棱锥的表面积一定变大三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为_.14据九章算术中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥现有一个“阳马”，底面，底面
5、是矩形，且，则这个四棱锥外接球表面积为_.15已知苏锡常镇四市联考中某校学生数学成绩服从正态分布，且，则从该校学生中任选一名学生，该生的数学成绩超过分的概率为_.16已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的所有可能取值构成的集合为_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17为鉴定某疫苗的效力，将只实验鼠分为两组，其中一组接种疫苗，另一组不接种疫菌，然后对这只实验鼠注射病原菌，其结果列于下表：发病没发病合计接种没接种合计（）求，的值，并判断是否有的把握认为实验鼠是否发病与疫苗有关?（）若将（）中的频率视为概率，从该批实验鼠中任取只，设其中接种疫苗且发病的实验鼠
6、的只数为随机变量，求的期望参考数据：独立性检验界值表：其中，（注：保留三位小数）18如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，分别为，的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面19某游客计划到常州的恐龙园、东方盐湖城、天目湖、春秋乐园这四个景点游览，若该游客游览恐龙园的概率为，游览东方盐湖城、天目湖和春秋乐园的概率都是，且该游客是否游览某个景点相互独立记该游客游览的景点个数为随机变量（）求该游客至多游览一个景点的概率；（）求随机变量的分布与期望.20已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对恒成立，求实数的取值范围（是自然对数的底数）21如图，在梯形中，在线段上，且沿将折起，使点到达点的位置
7、，满足（1）证明：平面；（2）若在梯形中，折起后在平面上的射影恰好是与的交点，求直线与平面所成角的正弦值.22已知函数（为自然对数的底数）（1）求曲线在点处的切线方程：（2）若方程有两个不等的实数根，而，求证：试卷答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1 2 3 4 5 6 7. 8.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分9 10 11 12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13 14 15 16四、解答题：本题共6小题，共70分17解：（）,列联表如下：发病没发病合计接种没接种合计所以，有的把握认为实验鼠是否发病与疫苗有关（）由（）的列联表可知，接种疫苗且发
8、病的实验鼠的只数占样本总数的频率为，从而在抽取的实验鼠中接种疫苗且发病的概率为，所以，所以随机变量的期望为18解：（）取中点，连结，中，为中点，所以，为矩形的边的中点，所以,，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面（）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面19解：（）记“该游客游览恐龙园”为事件，“该游客游览东方盐湖城”为事件，“该游客游览天目湖”为事件，“该游客游览春秋乐园”为事件记“该游客至多游览一个景点”为事件，则，其中两两互斥，相互独立，答：该游客至多游览一个景点的概率为（）的可能取值为,，随机
9、变量的分布列为.20解：（）当时，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为（）因为对恒成立，由，得，所以.等价于令,则，令，得.单调递减极小值单调递增所以当时，.令，因为，所以，所以；故综上，21（）因为，所以四边形为菱形，所以，又，平面，平面，所以平面（）因为平面，平面，平面，所以，又，以为原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系在菱形中，所以，设，则，在菱形中，所以，在中，由余弦定理得，所以所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以是平面的一个法向量设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.22（），所以曲线在处的切线方程为.（）令，得，列三行表如下单调递减单调递增因为有两个不等的实数根，所以，不妨设，令，令，单调递减极小值单调递增所以对任意，所以，即，所以，所以，所以