1、第一部分高考层级专题突破层级三2个压轴大题巧取高分专题二函数、导数与不等式第二讲导数与不等式课时跟踪检测(二十四)导数与不等式A卷1(2019浙江模拟)已知f(x)exexaln x(aN，且a2)的极值点x0.(1)求a的值；(2)若不等式f(x)b(bZ)恒成立，求b的最大值解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)exex，f(x)exex，在(0，)上，f(x)0恒成立，f(x)在(0，)上单调递增f(x)exexaln x(aN，且a2)的极值点x0.f2a0，又aN，且a2.可得a2.(2)首先当x1时，f(1)ee1(3,4)，又bZ，b3.其次，我们可以证明不等式：ex
2、exx22(x0)设g(x)exexx22(x0)，g(x)exex2x，g(x)exex20恒成立g(x)exex2xg(0)0恒成立g(x)g(0)0恒成立exexx22(x0)exex2ln xx222ln x(x0)设h(x)x222ln x(x0)，h(x)2x.可得当x1时，函数h(x)取得极小值即最小值，h(x)h(1)3，exex2ln x3恒成立，b的最大值是3.2(2019深圳二模)已知函数f(x)aex2x1.(其中常数e2.718 28，是自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：对任意的a1，当x0时，f(x)(xae)x.解：(1)由f(x)aex
3、2x1，得f(x)aex2.当a0时，f(x)0，函数f(x)在R上单调递增；当a0，解得xln，由f(x)ln，故f(x)在上单调递增，在上单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在R上单调递增；当a0时，h(x)ex10，当x0时，h(x)单调递增，h(x)h(0)0.当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增g(x)g(1)0.即e0，故f(x)(xae)x.B卷1(2019桃城区校级模拟)已知函数f(x)xln x.(1)求曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线方程；(2)当a1时，求证：存在c，使得对任意的x(c,1)，恒有f(x)ax(x1)解：(1)函数的定义域为
4、(0，)，由f(x)xln x，得f(x)ln x1，f(1)0，kf(1)1，故所求切线方程为y01(x1)，即xy10.(2)证明：由f(x)ax(x1)，得xln xax(x1)，由x0，可得ln xa(x1)，设g(x)ln xa(x1)，则g(x)a，当x时，g(x)0，当x时，g(x)0，又g(ea)ln eaa(ea1)aea0.由可知，存在c，使g(x)0恒成立，即存在c，使得对任意的x(c,1)，恒有f(x)ax(x1)2(2019凯里市校级模拟)已知函数f(x)2xaln x(aR)(1)当a3时，求函数f(x)的极值；(2)设g(x)f(x)x2aln x，且g(x)有两个极值点x1，x2，其中x1(0,1，证明：g(x1)g(x2)解：(1)易求f(x)的定义域为(0，)，当a3时，f(x)2x3ln x，f(x)2，令f(x)0得0x1；令f(x)0得x0，g(x)1，令g(x)0，得x2ax10，g(x)有两个极值点x1，x2，g(x1)g(x2)g(x1)gx1aln x122aln x122ln x1，设h(x)22ln x，x(0,1，h(x)22，当x(0,1时，恒有h(x)0，h(x)在x(0,1上单调递减，h(x)h(1)0，故g(x1)g(x2)0，即g(x1)g(x2)成立
