1、模块综合测评(时间120分钟，满分150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1复数z满足(32i)z43i(i为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限A由题意得，z，则复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.2将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为()A. B. C. D.B将先后两次的点数记为有序实数对(x，y)，则共有6636(个)基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有(
2、4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4种，则满足条件的概率为.故选B. 3从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为()A0.3 B0.4 C0.5 D0.6D设2名男生为a，b,3名女生为A，B，C, 则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，其中恰有一名女生为aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种， 故恰有一名女同学的概率P0.6 .故选D.4已知ABC为等腰三角形，满足ABAC，BC2，若P为底边BC上的动点，则()()A有最大值8 B是定值2C有最小值1 D是定值4D如图，设AD是等腰三角形底
3、边BC上的高，长度为.故()()2222222()24.故选D.5在ABC中，若lg sin Alg cos Blg sin Clg 2，则ABC是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形A因为lg sin Alg cos Blg sin Clg 2，所以lglg 2.所以sin A2cos Bsin C.因为ABC180，所以sin(BC)2cos Bsin C，所以sin(BC)0.所以BC，所以ABC为等腰三角形6九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑在鳌臑PABC中，PA平面ABC，PA4，ABBC
4、2，鳌臑PABC的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是()A16 B20 C24 D64C四棱锥PABC的四个面都是直角三角形，ABBC2，ABBC，又PA平面ABC，AB是PB在平面ABC上的射影，PACA，BCPB，取PC中点O，则O是PABC外接球球心由ABBC2得AC2，又PA4，则PC2，OP，所以球表面积为S4(OP)24()224.故选C.7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m，n，p共线，则ABC的形状为()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形A向量m，n共线，acos bcos .由正弦定理得sin Acos sin Bcos
5、 .2sin cos cos 2sin cos cos .则sin sin .0，0，即AB.同理可得BC.ABC的形状为等边三角形故选A.8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E，F，O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为V1，不含A1的部分为V2，连接A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为，则sin 的最大值为()A. B. C. D.B连接EF，因为EF平面ABCD，所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GHBC交CD于点G，交AB于H点，则GHEF
6、，连接EH，FG，则平行四边形EFGH即为截面，则五棱柱A1B1EHAD1C1FGD为V1，三棱柱EBHFCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N，则MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以MA1N.因为sin ，要使的正弦值最大，必须MN最大，A1M最小，当点M与点H重合时符合题意故(sin )maxmax.故选B.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9如图是2020年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同
7、期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论其中结论正确的是()A深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；B深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；C平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；D平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海ABC对于A.由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A正确；对于B.由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确； 对于C由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；对于D由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为
8、天津、西安和南京，故D错误故选ABC.10已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为，A，B为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是()A圆锥的高为1B三角形PAB为等腰三角形C三角形PAB面积的最大值为D直线PA与圆锥底面所成角的大小为ABD如图所示：PO1，A正确；PAPB2，B正确；易知直线PA与圆锥底面所成的角为PAO，D正确；取AB中点为C，设PAC，则，SPAB2sin 2cos 2sin 2，当时，面积有最大值为2，C错误故选ABD.11以下对各事件发生的概率判断正确的是()A连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为B每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和
9、，例如1257，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为C将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是D从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是BCD对于A，连续抛两枚质地均匀的硬币，其样本区间为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)；有4个基本事件，出现一正一反事件A包含的样本点为(正，反)，(反，正)，所以A错误；对于B，从集合2,3,5,7, 11,13中取出两个数，其样本空间(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，
10、(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)，即包含15个基本等可能事件，“两个数的和为14”的事件B仅包含一个样本点(3,11)，所以P(B)，所以B正确；对于C，样本空间有36个样本点，“点数和为6”的事件C包含5个样本点(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，即P(C)，所以C正确；对于D，从四件产品中取出两件，其样本空间为(正1，正2)，(正2，正3)，(正1，正3)，(正1，次)，(正2，次)，(正3，次)，故共有6个基本等可能事件，“全是正品”的事件的样本点为3个，所以P(D)，所以故选BCD.12已知复数z对应复平面内点A，则下列关于
11、复数z，z1，z2结论正确的是()A. |z2i|表示点A到点(0,2)的距离B. 若|z1|z2i|，则点A的轨迹是直线C. |z1|z2|z1z2|z1|z2|D. |z1z2|z1|z2|BCD对于A，|z2i|表示点A到点(0，2)的距离，所以A错误；对于B, |z1|z2i|表示A点到M(1,0)和N(0，2)的距离相等，所以A的轨迹是MN的垂直平分线，是一条直线，所以B正确；由复数模的性质知，C、D均正确，故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)132019年国际山地旅游大会于8月29日在贵州黔西南州召开，据统计有来自全世界的4 000名
12、女性和6 000名男性徒步爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为1 000名和2 000名，抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份若记者随机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱好者，其中恰好有1名徒步爱好者获得纪念品的概率是_“男性获得纪念品，女性没有获得纪念品”的概率为，“男性没有获得纪念品，女性获得纪念品” 的概率为，故“恰好有1名徒步爱好者获得纪念品” 的概率为.14已知向量a(1，2)，b(x,3y5)，且ab，若x，y均为正数，则xy的最大值是_ab，(3y5)12x0，即2x3y5.x0，y0，52x3y2，xy，当且仅当3y2x时取等号15掷红、
13、白两颗骰子，事件A红骰子点数小于3，事件B白骰子点数小于3，则事件P(AB)_，P(AB)_.由掷红、白两颗骰子，向上的点数共6636种可能，红色骰子的点数分别记为红1，红2，白色骰子的点数分别记为白1，白2，其中红骰子点数小于3的有1,2二种可能，其中白骰子点数小于3的有1,2二种可能，事件A红1，白1，红1，白2，红1，白3，红1，白4，红1，白5，红1，白6，红2，白1，红2，白2，红2，白3，红2，白4，红2，白5，红2，白6，共12种事件B白1，红1，白1，红2，白1，红3，白1，红4，白1，红5，白1，红6，白2，红1，白2，红2，白2，红3，白2，红4，白2，红5，白2，红6，共
14、12种，事件AB红1，白1，红1，白2，红2，白1，红2，白2，共4种，故P(AB)，事件AB共有1212420种，故P(AB).16如图，四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAB1，BC2，四棱锥外接球的球心为O，点E是棱AD上的一个动点给出如下命题：直线PB与直线CE是异面直线；BE与PC一定不垂直；三棱锥EBCO的体积为定值；CEPE的最小值为2.其中正确命题的序号是_(将你认为正确的命题序号都填上)对于，直线PB经过平面ABCD内的点B，而直线CE在平面ABCD内不过B，直线PB与直线CE是异面直线，故正确；对于，当E在线AD上且AEAD位置时，BEAC，因为PA
15、平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE，又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，BE平面PAC，则BE垂直PC，故错误；对于，由题意知，四棱锥PABCD的外接球的球心为O是PC的中点，则BCE的面积为定值，且O到平面ABCD的距离为定值，三棱锥EBCO的体积为定值，故正确；对于，设AEx，则DE2x，PEEC.由其几何意义，即平面内动点(x,1)与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值为2，故正确故答案为.四、解答题 (本大题共6小题，共10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算)17(本小题满分10分)benti从青岛市统考的学生数学考试试卷中随机抽查100份数学
16、试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图(1)求这100份数学试卷成绩的中位数；(2)从总分在55,65)和135,145)的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率解(1)记这100份数学试卷成绩的中位数为x(95x0，1，即sin Bcos A.(2)由sin Csin Acos B知，sin(AB)sin Acos B，cos Asin B.由(1)知，sin Bcos A，cos2A，由于B是钝角，故A，cos A，A.sin B，B，C(AB).20(本小题满分12分)如图，E是以AB为直径的半圆上异于A，B的点，矩形ABC
17、D所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB2AD2.(1)求证：EAEC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.证明：EFAB；若EF1，求三棱锥EADF的体积解(1)证明：平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，BCAB，BC平面ABCD，BC平面ABE.又AE平面ABE，BCAE.E在以AB为直径的半圆上，AEBE，又BEBCB，BC，BE平面BCE，AE平面BCE.又CE平面BCE，EAEC.(2)证明：ABCD，AB平面CED，CD平面CED，AB平面CED.又AB平面ABE，平面ABE平面CEDEF，ABEF.取AB的中点O，EF的中点O，在RtOOF中，OF1，O
18、F，OO.由(1)得BC平面ABE，又已知ADBC，AD平面ABE.故VEADFVDAEFSAEFADEFOOAD.21(本小题满分12分)已知ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.(1)证明：acos Bbcos Ac；(2)在，ccos A2bcos Aacos C，2a这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若a7，b5，_，求ABC的周长解(1)根据余弦定理：acos Bbcos Aabc，所以acos Bbcos Ac.(2)选：因为，所以2ccos Abcos Aacos B，所以由(1)中所证结论可知，2ccos Ac，即cos A，因为A(0，)，所以A；选
19、：因为ccos A2bcos Aacos C，所以2bcos Aacos Cccos A，由(1)中的证明过程同理可得，acos Cccos Ab，所以2bcos Ab，即cos A，因为A(0，)，所以A；选：因为2abc，所以2acos Abcos Cccos B，由(1)中的证明过程同理可得，bcos Cccos Ba，所以2acos Aa，即cos A，因为A(0，)，所以A.在ABC中，由余弦定理知，a2b2c22bccos A25c210c49，即c25c240，解得c8或c3(舍)，所以abc75820，即ABC的周长为20.22. (本小题满分12分)如图，某住宅小区的平面图呈
20、圆心角为120的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点 A及点 C处，且小区里有一条平行于 BO的小路CD.(1)已知某人从 C沿 CD走到 D用了10分钟，从D沿DA走到 A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米) (2)若该扇形的半径为OAa，已知某老人散步，从 C沿CD走到D，再从D沿DO走到O，试确定C的位置，使老人散步路线最长解(1)法一：设该扇形的半径为r米，连接CO. 由题意，得CD500(米)，DA300(米)，CDO60，在CDO中，CD2OD22CDODcos 60 OC2，即500222500r2，解得r445(米)法二：连接AC，作OHAC，交AC于H，由题意，得CD500(米)，AD300(米)，CDA120 ，在CDA中，AC2CD2AD22CDADcos 1205002300225003007002.AC700(米). cosCAD.在直角HAO 中，AH350(米)，cosHAO，OA445(米)(2)连接OC，设DOC，在DOC中，由正弦定理得，于是CDsin ，DOsin，则 DCDO2asin ，所以当时，DCDO最大为2a ，此时C在弧AB的中点处