1、第八章第四节一、选择题1(文)(2014长春模拟)椭圆x24y21的离心率为()ABCD答案A解析先将x24y21化为标准方程x21，则a1，b，c.离心率e.(理)若P是以F1、F2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点，且0，tanPF1F2，则此椭圆的离心率为()A BCD答案A解析在RtPF1F2中，不妨设|PF2|1，则|PF1|2.|F1F2|，e.2(文)椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为()A32 B16 C8D4答案B解析由题设条件知ABF2的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16.(理)(2013浙江绍兴一模)椭圆1上
2、一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A2B4C8D答案B解析连接MF2.已知|MF1|2，又|MF1|MF2|10，|MF2|10|MF1|8.如图，|ON|MF2|4.故选B3(文)(2014佛山月考)设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1PF2，则点P的横坐标为()A1BC2D答案D解析由题意知，c2a2b2413，点P即为圆x2y23与椭圆y21在第一象限的交点，解方程组得点P的横坐标为.(理)F1、F2是椭圆1(ab0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为()A圆B椭圆
3、C双曲线D抛物线答案A解析PQ平分F1PA，且PQAF1，Q为AF1的中点，且|PF1|PA|，|OQ|AF2|(|PA|PF2|)a，Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆4(2014豫东、豫北十所名校联考)已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，若F1F2P为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为()AB1C1或D答案C解析当F1PF2为直角时，P为椭圆短轴端点，bc，e；当F1F2P或F2F1P为直角时，2c，b22ac，a2c22ac，e22e10，e1.5(文)(2013烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F
4、2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A1B1C1D1答案A解析设椭圆的标准方程为1(ab0)由点(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，又c2a2b2，联立得a28，b26.(理)(2013新课标理，10)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A1B1C1D1答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在椭圆上，两式相减得，即，AB的中点为(1，1)，x1x22，y1y22，k，又k，又c2a2b22b2b2b
5、2，c29，b29，a218，椭圆E的标准方程为1，故选D6(2014豫东、豫北十所名校联考)已知F1(3,0)，F2(3,0)是椭圆1(ab0)两个焦点，P在椭圆上，F1PF2，且当时，F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为()A1B1C1D1答案A解析|F1F2|为定值，当P在短轴端点时，SF1PF2最大，F1PF2，PF1F2，tan，c3，b，a2b2c212，椭圆方程为1.二、填空题7(2013池州二模)已知点M(，0)，椭圆y21与直线yk(x)交于点A、B，则ABM的周长为_答案8解析M(，0)与F(，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F(，0)，且|AB|AF|BF|，
6、ABM的周长等于|AB|AM|BM|(|AF|AM|)(|BF|BM|)4a8.8已知椭圆M：1(a0，b0)的面积为ab，M包含于平面区域：内，向内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，则椭圆M的方程为_答案1解析平面区域：是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得，即ab2.因为0a2,0b10)和椭圆C2：1(a2b20)的焦点相同且a1a2.给出以下四个结论：椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；aabb；a1a2a2，故b1b2，因此两椭圆必无公共点，即命题为真命题；又由于两椭圆焦点相同，a1a2，aba(ac2)a(ac2)ab，故，即命题为假命题；由焦点相同得abab，故aa
7、bb，即命题为真命题；因为aabb，即(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)1，故有a1a2b0)，由题意c，且椭圆过点M(1，)，椭圆方程为y21.(2)设直线PQ：xty，由消去x得，(t24)y2ty0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1y2，y1y2，又A(2,0)，(x12，y1)(x22，y2)(x12)(x22)y1y2(ty1)(ty2)y1y2(t21)y1y2t(y1y2)0，PAQ(定值)(理)(2014安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2y24x2y0的圆心C(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过椭圆的焦
8、点且与圆C相切，求直线l的方程解析(1)圆C方程化为(x2)2(y)26，圆心C(2，)，半径r.设椭圆的方程为1(ab0)，则所以所以所求椭圆的方程是1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(2,0)，F2(2,0)，|F2C|b0)的离心率e，右焦点为F(c,0)，方程ax22bxc0的两个实数根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为()ABC2D答案A解析因为e，所以a2c，由a2b2c2，得，x1x2，x1x2，点P(x1，x2)到原点(0,0)的距离d.12(文)(2014陕西西工大附中适应性训练)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B
9、两点，连线AF，BF，若|AB|10，|AF|6，cosABF，则椭圆C的离心率e为()ABCD答案A解析在ABF中，由|AB|10，|AF|6，cosABF，得|BF|8，设椭圆的右焦点为E，由对称性知，|AE|8，且AEF为直角三角形，|EF|10，2a|AF|AE|14.e.(理)(2014包头三十三中期末)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为()A(0，1)B(，1)C(0，)D(1,1)答案D解析根据正弦定理得，所以由可得，即e，所以|PF1|e|PF2|.又|PF1|PF2|e|PF2|PF2|PF2
10、|(e1)2a，即|PF2|.因为ac|PF2|ac(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以acac，即11，所以1e1.又因为e1，所以1e2Ct0，直线与椭圆有两个交点，yx1是“A型直线”把y2代入1，得不成立，直线与椭圆无交点，y2不是“A型直线”把yx3代入1并整理得，7x224x240，(24)247240，y2x3是“A型直线”三、解答题17在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程解析(1)因为椭圆C1的左
11、焦点为F1(1,0)，所以c1，将点P(0,1)代入椭圆方程1，得1，即b21，所以a2b2c22，所以椭圆C1的方程为y21.(2)直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为ykxm，由消去y并整理得，(12k2)x24kmx2m220，因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0整理得2k2m210，由消去y并整理得，k2x2(2km4)xm20，因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1，综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.18(文)(2014安徽“江南十校”联考)已知椭圆：1(ab0)的右焦点为F，椭圆的上顶点和两焦点连线构
12、成等边三角形且面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l：xmyq(m0)与椭圆交于不同的两点A，B，设点A关于椭圆长轴的对称点为A1，试求A1，F，B三点共线的充要条件解析(1)设椭圆的标准方程是1(ab0)由题意知a2c，bc，所以a2，b，椭圆的标准方程是1.(2)联立(3m24)y26mqy(3q212)0，由123m2q2(3m24)(q24)48(3m24q2)0，得3m24q20.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(x1，y1)，y1y2，y1y2，因为F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，故A1，F，B三点共线，(x11)y2(x21)(y1)(m
13、y1q1)y2(my2q1)y12my1y2(q1)(y1y2)2m(q1)0q4(m0)，由知A1，F，B三点共线的充要条件是|m|2，且q4.(理)(2014新课标全国理)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程分析(1)由过A(0，2)，F(c,0)的直线AF的斜率为或过两点的直线斜率公式可求c，再由e，可求a，由b2a2c2可求出b2，则椭圆E的方程可求(2)由题意知动直线l的斜率存在，故可设其斜率为k，写出直线方程，并与椭圆方程
14、联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，利用弦长公式求出弦PQ的长|PQ|，利用点到直线的公式求出点O到直线PQ的距离d，则由SOPQ|PQ|d，可将SOPQ表示成关于k的函数，转化为求函数f(k)的最大值问题注意k应使得一元二次方程的判别式大于0.解析(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21中消去y得，(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2，从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.