1、模块综合检测(一)(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在等比数列an中，若a24，a532，则公比q应为()AB2 CD2D因为q38，故q2.2若f (x)2xf (1)x2，则f (0)等于()A2B0C2D4Df (x)2f (1)2x，f (1)2f (1)2，f (1)2，f (0)2f (1)4，选D.3在等差数列an中，a11，且a2a1，a3a1，a4a1成等比数列，则a5()A7B8C9D10C设等差数列an的公差为d，由a2a1，a3a1，a4a1成等比数列，则(a3a1)
2、2(a2a1)(a4a1)，即(2d)2d(23d)，解得d2或d0(舍去)，所以a5a14d1429，故选C.4设函数f (x)x3(a1)x2ax.若f (x)为奇函数，则曲线yf (x)在点(0，0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2xDyxD因为函数f (x)是奇函数，所以a10，解得a1，所以f (x)x3x，f (x)3x21，所以f (0)1，f (0)0，所以曲线yf (x)在点(0，0)处的切线方程为yf (0)f (0)x，化简可得yx，故选D.5据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n(n为常数)盏，底层的灯数是顶
3、层的13倍，则塔的底层共有灯()A2盏B3盏C26盏D27盏C设最顶层有x盏灯，则最下面一层有(x8n)盏，x8n13x，8n13xx，8n12x，xn，x(xn)(x2n)(x3n)(x8n)126，9x(1238)n126，9x36n126，9n36n126，6n36n126，42n126，n126423，x32(盏)，所以最下面一层有灯13226(盏)，故选C.6若函数f (x)ex(sin xa)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是()AB1，)C(1，)D(，)B由题意得：f (x)ex(sin xa)excos xex.f (x)在上单调递增，f (x)0在上恒成立又ex0，si
4、na0在上恒成立当x时，x，sin.sina(1a，a，1a0，解得a1，)故选B.7若数列an的前n项和是Snn24n2，则|a1|a2|a10|()A15B35C66D100C易得an|a1|1，|a2|1，|a3|1，令an0则2n50，n3.|a1|a2|a10|11a3a102(S10S2)2(1024102)(22422)66.8若函数f (x)x22xaln x有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是()Aa0Ba0或a1Ca0Da0或a1C函数f (x)x22xaln x有唯一一个极值点，则导函数有唯一的大于0的变号零点，f (x)x20，变形为ax22x(x0)画出yx22x(
5、x0)，ya的图象，使得两个函数图象有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故a0或a1，化简为a0或a1.因为a1时，f (x)0不符合题意，所以a0.故选C.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9若Sn为数列an的前n项和，且Sn2an1(nN*)，则下列说法正确的是()Aa516BS563C数列是等比数列D数列是等比数列AC因为Sn为数列的前n项和，且Sn2an1(nN*)，所以S12a11，因此a11，当n2时，anSnSn12an2an1，即an2an1，所以数列是以1为首项，以
6、2为公比的等比数列，故C正确；因此a512416，故A正确；又Sn2an12n1，所以S525131，故B错误；因为S110，所以数列不是等比数列，故D错误故选AC.10定义在区间上的函数f (x)的导函数f (x)图象如图所示，则下列结论正确的是()A函数f (x)在区间(0，4)单调递增B函数f (x)在区间单调递减C函数f (x)在x1处取得极大值D函数f (x)在x0处取得极小值ABD根据导函数图象可知，f (x)在区间(，0)上，f (x)0，f (x)单调递减，在区间(0，4)上，f (x)0，f (x)单调递增，所以f (x)在x0处取得极小值，没有极大值，所以A、B、D选项正确
7、，C选项错误故选ABD11已知数列是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有()A数列是等比数列B数列是等比数列C数列是等比数列D数列是等比数列ABD根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则q，对于A，对于数列，则有，为等比数列，A正确；对于B，对于数列，有 q2，为等比数列，B正确；对于C，对于数列，若an1，数列是等比数列，但数列不是等比数列，C错误；对于D，对于数列，有，为等比数列，D正确故选ABD.12已知函数f (x)x3ax2bxc，下列结论中正确的是()Ax0R，f (x0)0B若f (x)有极大值M，极小值m，则必有MmC若x0是f (x)极小值点，则f (x)在区间(，x
8、0)上单调递减D若f (x0)0，则x0是f (x)的极值点ABC因为当x时，f (x)，当x时，f (x)，由零点存在性定理知x0R，f (x0)0，故A正确；因为f (x)3x22axb，若f (x)有极大值M，极小值m，则f (x)0有两根x1，x2，不妨设x1x2，易得f (x)在(x1，x2)上单调递增，在(，x1)，(x2，)单调递减，所以f (x2)Mf (x1)m，故B、C正确；导数为0的点不一定是极值点，故D错误故选ABC.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11的值为_25因为a7a
9、12a8a11a9a105，所以a8a9a10a1125.14已知函数f (x)exln x，f (x)为f (x)的导函数，则f (1)的值为_ef (x)exln x，f (x)ex，f (1)e1(ln 11)e.15设Sn是数列an的前n项和，且a11，an12SnSn1，则a2_，Sn_.(本题第一空2分，第二空3分)SnSn是数列an的前n项和，且a11，an12SnSn1，令n1，则a22a1(a1a2)，a22(1a2)，解得a2.又Sn1Sn2SnSn1，整理得2(常数)，即2(常数)，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列所以1212n， 故Sn.16设f (x)是函数f
10、(x)的导函数，且f (x)f (x)(xR)，f (2)e2(e为自然对数的底数)，则不等式f (x)ex的解集为_(，2)构造F (x)F (x).由于f (x)f (x)，故F (x)0 ，即F (x)在R上单调递增又f (2)e2，故F (2)1，f (x)ex，即F (x)1F (2)，即x2.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设an是公比为正数的等比数列，a12，a3a24.(1)求an的通项公式；(2)设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列anbn的前n项和Sn.解(1)设q(q0)为等比数列an的公比，则由a
11、12，a3a24得2q22q4，即q2q20，解得q2或q1(舍去)，因此q2.所以an的通项公式为an22n12n.(2)Snn122n1n22.18(本小题满分12分)已知函数f (x)ln xx2.(1)求h(x)f (x)3x的极值；(2)若函数g(x)f (x)ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围解(1)由已知可得h(x)f (x)3xln xx23x，h(x)(x0)，令h(x)0，可得x或x1，则当x(1，)时，h(x)0，当x时，h(x)0，h(x)在，(1，)上为增函数，在上为减函数，则h(x)极小值h(1)2，h(x)极大值hln 2.(2)g(x)f (x)axln
12、 xx2ax，g(x)2xa(x0)，由题意可知g(x)0(x0)恒成立，即amin，x0时，2x2，当且仅当x时等号成立，min2，a2，即实数a的取值范围为(，219(本小题满分12分)各项均为正数的数列前n项和为Sn，且4Sna2an1，nN.(1)求数列的通项公式；(2)已知公比为q的等比数列满足b1a1，且存在mN满足bmam，bm1am3，求数列的通项公式解(1)当n1时，4S14a1a2a11，整理得20，a11.4Sna2an1，4Sn1a2an11，两式相减得4an1aa2an12an，即aa2an12an0，即0，数列各项均为正数，an1an0，an1an2，数列是首项为1
13、，公差为2的等差数列，故an122n1.(2)b1a11，bnb1qn1qn1，依题意得相除得q1N，2m11或2m13，所以 或 当m1时，bn7n1；当m2时，bn3n1.综上所述，bn7n1或bn3n1.20(本小题满分12分)已知函数f (x)ex，aR，试讨论函数f (x)的零点个数解函数f (x)的定义域为x|xa(1)当xa时，ex0，xa0，f (x)0，即f (x)在(a，)上无零点(2)当xa时，f (x)，令g(x)ex(xa)1，则g(x)ex(xa1)由g(x)0得xa1.当xa1时，g(x)0；当xa1时，g(x)0，g(x)在(，a1)上单调递减，在(a1，)上单
14、调递增，g(x)ming(a1)1ea1.当a1时，g(a1)0，xa1是f (x)的唯一零点；当a1时，g(a1)1ea10，f (x)没有零点；当a1时，g(a1)1ea10，f (x)有两个零点21(本小题满分12分)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设数列an的公差为d，bn的公比为q，由得bn的通项公式bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得d2.an的通项公式ana1(n1)d1(n1)22n1(nN*)(2)设数列cn的前n
15、项和为Sanbn2n13n1，Snc1c2c3cn2113022131231322n13n12(12n)n2nn2.即数列cn的前n项和为n2.22(本小题满分12分)已知函数f (x)aln xx2(1a)x，aR.(1)当a1时，求函数yf (x)的图象在x1处的切线方程；(2)讨论函数f (x)的单调性；(3)若对任意的x(e，)都有f (x)0成立，求a的取值范围解(1)f (x)，f (1)0，f (1)，所以所求切线方程为y.(2)f (x).当a1时，f (x)在(0，)递增；当a0时，f (x)在(0，1)递减，(1，)递增；当0a1时，f (x)在(0，a)递增，(a，1)递减，(1，)递增；当a1时，f (x)在(0，1)递增，(1，a)递减，(a，)递增(3)由f (x)0得(xln x)ax2x.注意到yxln x，y，于是yxln x在(0，1)递减，(1，)递增，最小值为1，所以x(e，)，xln x0.于是只要考虑x(e，)，a.设g(x)，g(x)，注意到h(x)x22ln x，h(x)，于是h(x)x22ln x在(e，)递增，h(x)h(e)e0，所以g(x)在(e，)递增，于是ag(e).