1、小题狂练（45）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数除法运算求得，从而求得，由此得到对应的坐标，进而求得在复平面内对应的点所在象限.【详解】因为，所以，对应点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，共轭复数，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题目.2. 已知集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集
2、合，即可求出交集.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查函数定义域和值域的求法，考查集合交集运算，属于基础题.3. 已知，则的最大值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据可得，之后利用基本不等式得到，从而求得结果.【详解】因为，且，所以，即，所以有，当且仅当时取得最大值，故选：A.【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求积的最大值，属于简单题目.4. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得，利用韦达定理找到之间的关系，代入所求不等式即可求得.【详解】不等式的解集为，
3、则与是方程的两根，且，由韦达定理知，即，则不等式可化简为，整理得： ，即，由得或，故选：C.【点睛】本题主要考一元二次不等式，属于较易题.5. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的导函数和已知定义，依次对其求导，观察得出，可得解.【详解】，由此可知：，.故选：D.【点晴】本题考查三角函数的导数，依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键，属于中档题.6. 某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A. 72种B. 3
4、6种C. 24种D. 18种【答案】B【解析】【分析】根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可【详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村，若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村，则总共的分配方案为2(9+9)=218=36种，故选B.【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.7. 若幂
5、函数的图象过点，则函数的递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，代入点求出，再求出的导数，令，即可求出的递增区间.【详解】设，代入点，则，解得，则，令，解得，函数的递增区间为.故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.8. 设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意变量分离转为在上恒成立，只需，求出最大值即可得到实数的取值范围.【详解】由题意，可得，即，当时，所以在上恒成立，只需，当时有最小值为1，则有最大值为3，则，实数的取值范围是，故选：A【点睛】本
6、题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，
7、下列结论正确的是（ ）A. 月跑步里程最小值出现在2月B. 月跑步里程逐月增加C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小【答案】ACD【解析】【分析】根据折线图，依次分析月跑步里程的最小值，中位数，变化趋势，波动性即得解【详解】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正
8、确.故选：ACD【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用，考查了学生综合分析，数形结合，数据处理能力，属于基础题10.已知函数，下列结论不正确的是（ ）A. 函数图像关于对称B. 函数在上单调递增C. 若，则D. 函数f(x)的最小值为2【答案】BCD【解析】【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之【详解】解：由题意可得：，函数图象如下所示故对称轴为，故A正确；显然函数在上单调递增，上单调递减，故B错误；当，时函数取得最小值，故D错误；要使，则，则或，或，所以或， ，故C错误故选：BCD【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的应
9、用，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域，属于中档题11.已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（ ）A. 直线与平面所成角的正弦值范围为B. 点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C. 点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D. 己知为中点，当的和最小时，为的中点【答案】AC【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱、的中点、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点、
10、，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则点、设点，平面，则为平面的一个法向量，且，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；对于B选项，当与重合时，连接、，在正方体中，平面，平面，四边形是正方形，则，平面，平面，同理可证，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.设、分别为棱、的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项
11、错误；对于C选项，设平面交棱于点，点，平面，平面，即，得，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，而，且，由空间中两点间的距离公式可得，所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：若最短，则、三点共线，所以，点不是棱的中点，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.12.函数f(x)=ex+asinx，x(，+)，下列说法正确的是（ ）A. 当a=1时，f(x)在(0，f(0)处的切线方程为2xy+1=0B. 当a=1时，f
12、(x)存在唯一极小值点x0且1f(x0)0C. 对任意a0，f(x)在(，+)上均存在零点D. 存在a0，f(x)在(，+)上有且只有一个零点【答案】ABD【解析】【分析】逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线ya 的交点问题【详解】选项A，当时，所以，故切点为，所以切线斜率，故直线方程为：，即切线方程为：， 选项A正确.选项B，当时，恒成立，所以单调递增，又, ,所以，即，所以所以存在，使得，即则在上，在上，所以在上，单调递减，在上，单调递增.所以存在唯一的极小值点.,
13、则，所以B正确.对于选项C、D，令，即 ，所以, 则令,令,得由函数的图像性质可知:时，单调递减.时，单调递增.所以时，取得极小值，即当时取得极小值，又,即又因为在上单调递减，所以所以时，取得极小值，即当时取得极大值，又，即所以当时，所以当，即时，f(x)在(，+)上无零点，所以C不正确.当，即时，与的图象只有一个交点即存在a0，f(x)在(，+)上有且只有一个零点，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的常数项为_.(用数字作答)【答
14、案】240【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项【详解】解：展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：240【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题14.一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是_.【答案】【解析】【分析】先定义事件，从而得到事件“甲恰好
15、摸到两次绿球的情况为事件，利用事件的独立性进行概率计算，即可得到答案。【详解】设“甲摸到绿球”的事件为，则，“甲摸到红球”的事件为，则，设“乙摸到绿球”的事件为，则，“乙摸到红球”的事件为，则，在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的情况是，所以.故答案为：【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是准确定义相关事件。15.己知a，b为正实数，直线y=xa与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_.【答案】4【解析】【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得、，进而可得，再利用，结合基本不等式即可得解.【详解】对求导得，因为直线
16、y=xa与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，所以即，所以，所以切点为，由切点在切线y=xa上可得即，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.16.已知双曲线，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是F1PF2的内切圆.则M的横坐标为_，若F1到圆M上点的最大距离为，则F1PF2的面积为_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】利用双曲线的定义以及内切圆的性质，求得的横坐标.由F1到圆M上点的最大距离，求得圆的半径，求得直线的方程，由此求得点的坐标，从而求得，进而求得F1PF2的面积.【详解】双曲线的方程为，则.设圆分别与相切于，根据双曲线的定义可知，根据内切圆的性质可知，而. 由得：，所以,所以直线的方程为，即的横坐标为.设的坐标为，则到圆M上点的最大距离为，即，解得.设直线的方程为，即.到直线的距离为，解得.所以线的方程为.由且在第一象限，解得.所以，.所以F1PF2的面积为.故答案为：；【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查圆的几何性质、直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.