1、单元素养评价(二)(第二章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.下列说法错误的是()A.向量的长度与向量的长度相等B.零向量与任意非零向量平行C.长度相等方向相反的向量共线D.方向相反的向量可能相等【解析】选D.A中向量与向量的方向相反,长度相等,故正确;B中规定零向量与任意非零向量平行,故正确;C中能平移到同一条直线的向量是共线向量,所以长度相等,方向相反的向量是共线向量,故正确;D中长度相等,方向相同的向量才是相等向量,所以方向相反的向量不可能相等,故错误.2.已知向量m=(a,-1),n=(2a-5,3),若mn,则实数a的值为()A.3B.1C.-D.-5【解析
2、】选B.根据题意,向量m=(a,-1),n=(2a-5,3),若mn,则有3a=-(2a-5),解得a=1.3.(2020全国卷)已知向量a,b满足=5,=6,ab=-6,则cos=()A.-B.-C.D.【解析】选D.由a(a+b)=+ab=25-6=19,又=7,所以cos=.【补偿训练】已知a=(1,1),b=(m,1),且a(a+b),则实数m=()A.1B.-3C.-2D.-1【解析】选B.a+b=(m+1,2),由a(a+b)=0,得m=-3.4.在ABC中,A=60,B=75,BC=10,则AB=()A.5B.10C.5D.【解析】选D.由内角和定理知C=180-(60+75)=
3、45,所以=即AB=.5.已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,+=1,=4,则ABC的面积为()A.B.2C.2D.4【解析】选C.由已知及正弦定理得+=1,化简得b2+c2-a2=bc,所以cos A=,因为A,所以A=60,所以=bccos 60=4,所以bc=8,所以SABC=bcsin A=8=2.6.在正方形ABCD中,设=a,=b,已知E,F,G分别是AB,DE,CF的中点,则=()A.a+bB.a-bC.a+bD.a+b【解析】选D.由几何图形可知:=+=+=+=+=+=a+b.7.已知O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三个动点,若动点P满足=+(+),(0
4、,+),则点P的轨迹一定通过ABC的()A.内心B.重心C.外心D.垂心【解析】选B.由原等式得=(+),根据平行四边形法则知+是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过ABC的重心.8.在给出的下列命题中,错误的是()A.设O,A,B,C是同一平面上的四个点,若=m+(1-m)(mR),则点A,B,C必共线B.若向量a,b是平面上的两个向量,则平面上的任一向量c都可以表示为c=a+b(,R),且表示方法是唯一的C.已知平面向量,满足=,=,则ABC为等腰三角形D.已知平面向量,满足|=|=|=r(r0),且+=0,则ABC是等边三角形【解析】选B.对于A,=m+
5、(mR),所以-=m,所以=m,且有公共点C,所以点A,B,C共线,命题A正确;对于B,根据平面向量的基本定理缺少条件a,b不共线,故B错误;对于C,由于=,即=0,=0,得,即OA为BC的垂线,又由于=,可得OA在BAC的平分线上,综合得ABC为等腰三角形,故C正确;对于D,平面向量,满足=r,且+=0,所以+=-,所以+2+=,即r2+2r2cos+r2=r2,所以cos=-,所以,的夹角为120,同理,的夹角也为120,所以ABC是等边三角形,故D正确.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.有下列说法,其中错误的说法为()A.若ab,b
6、c,则acB.若=,则P是三角形ABC的垂心C.两个非零向量a,b,若=+,则a与b共线且反向D.若ab,则存在唯一实数使得a=b【解析】选AD.对于选项A,当b=0时,a与c不一定共线,故A错误;对于选项B,由=,得=0,所以,PBCA,同理PACB,PCBA,故P是三角形ABC的垂心,所以B正确;对于选项C,两个非零向量a,b,若=+,则a与b共线且反向,故C正确;对于选项D,当b=0,a0时,显然有ab,但此时不存在,故D错误.10.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=2,B=,若添加下列条件来解三角形,则其中三角形只有一个解的是()A.c=3B.c=C.c=4D.
7、c=【解析】选AC.对于A,由cb,所以Cb,由正弦定理=,可得sin C=,满足条件的C是锐角或钝角,故B不正确;对于C,由正弦定理=,可得sin C=1即C=,满足题意,故C正确;对于D,由正弦定理=,可得sin C=,即C无解,故D不正确.11.设向量a=,b=,则下列叙述错误的是()A.若k-2时,则a与b的夹角为钝角B.的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个为D.若=2,则k=2或-2【解析】选CD.对于A选项,若a与b的夹角为钝角,则ab0且a与b不共线,则解得k0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin Asin Bsin C=abc=456,A正确;由上可知:c最大
8、,所以三角形中C最大,又cos C=0,所以C为锐角,B错误;由上可知a最小,所以三角形中A最小,又cos A=,所以cos 2A=2cos2A-1=,所以cos 2A=cos C,由三角形中C最大且C为锐角可得:2A,C,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=,又sin C=,所以2R=,解得R=,所以D正确.三、填空题(每小题5分,共20分)13.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b=,ABC的面积为,则c=,B=.【解析】由三角形的面积公式可得SABC=bcsin A=c=,所以c=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=14-22=2,所以
9、a2+b2=c2,所以C=,B=.答案:214.如图,在ABC中,=,P是BN上一点,若=t+,则实数t的值为.【解析】由题意及图得,设=m,=+=+m=+m(-)=m+(1-m),又=,所以=,所以=m+(1-m),又=t+,所以解得m=,t=.答案:15.已知M是ABC内一点,=+,设ABM的面积为S1,ABC的面积为S2,则=.【解析】设=,=,以AD,AE为邻边作平行四边形ADME,延长EM交BC于F,则EFAB,所以=.答案:16.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题,今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开),
10、树干与底面成75角,折断部分与地面成45角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是米(结果保留根号).【解析】如图所示,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则AOB=75,ABO=45,所以OAB=60.由正弦定理知=,所以OA=(米),AB=(米),所以OA+AB=5+5(米).答案:四、解答题(共70分)17.(10分)已知向量a,b满足b=(1,),ab=4,(a-2b)a.(1)求向量a与b的夹角;(2)求|2a-b|的值;(3)若向量c=3a-4b,d=ma+b,cd,求m的值.【解析】(1)因为(a-2b)a,所以(a-2b)a=0,|a|2=8,即|a|=2.
11、设向量a与b的夹角为,则cos =,又,所以=.(2)由向量模的计算公式|a|=,得|2a-b|=2.(3)因为cd,所以c=d,设3a-4b=(ma+b),则解得m=-.18.(12分)已知a,b是两个单位向量.(1)若|3a-2b|=3,求|3a+b|的值;(2)若a与b的夹角为60,试求向量m=2a+b与n=2b-a的夹角的余弦值.【解析】(1)因为a,b为单位向量,所以|a|=1,|b|=1,又|3a-2b|=3,所以9|a|2-12ab+4|b|2=9,即ab=,所以|3a+b|=2.(2)|m|=,|n|=,mn=(2a+b)(2b-a)=2|b|2+3ab-2|a|2=.设m,n
12、夹角为,则cos=.即m,n夹角的余弦值为.19.(12分)(2020全国卷)ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.(1)求A;(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.【解析】(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C,所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=ACAB,所以cos A=-,因为A(0,),所以A=.(2)由(1)知A=,又BC=3,所以由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2ACABcos A=AC2+AB2+ACAB=9,即(AC+AB)2-ACAB=9.因为ACAB(当且仅当AC=AB时取等号),所以9=(AC+AB)
13、2-ACAB(AC+AB)2-=(AC+AB)2,解得:AC+AB2(当且仅当AC=AB时取等号),所以ABC的周长=AC+AB+BC3+2,所以ABC周长的最大值为3+2.20.(12分)ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos C-c=2a.(1)求B的大小;(2)若a=3且AC边上的中线长为,求c的值.【解析】(1)因为2bcos C-c=2a,所以由余弦定理可得,2b-c=2a,化简得a2+c2-b2=-ac,所以cos B=-,因为B,所以B=.(2)由(1)及题意得,b2=a2+c2+ac=c2+3c+9,又因为在ABC中,cos C=,取AC中点D,连结BD.因为
14、a=3,BD=,在CBD中,cos C=,所以9+b2-c2=2,把代入,化简得c2-3c-10=0,解得c=5,或c=-2(舍去),所以c=5.21.(12分)如图,在ABC中,AB=2,AC=3,BAC=60,=2,=2.(1)求CD的长;(2)求的值.【解析】(1)因为=2,所以=,所以=-=-,所以|=|-|=,即CD=.(2)=-=-+=-(-)+=+,所以=+=+23=.22.(12分)如图,港口A在港口O的正东120海里处,小岛B在港口O的北偏东60的方向,且在港口A北偏西30的方向上,一艘科学考察船从港口O出发,沿北偏东30的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O.一艘快艇从
15、港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B,在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发,补给装船时间为1小时.(1)求快艇从港口A到小岛B的航行时间;(2)快艇驶离港口A后,最少经过多少小时能和科考船相遇?【解析】(1)由题意知,在AOB中,OA=120,AOB=30,OAB=60,所以ABO=90,于是AB=OAsinAOB=120sin 30=60(海里),而快艇的速度为v=60海里/小时,所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为=1小时.(2)由(1)知,快艇从港口A驶离2小时后,从小岛B出发与科考船汇合.为使航行的时间最少,快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行,设快艇驶离港口B t小时后恰与科考船在C处相遇.在AOB中,OB=OAcos AOB=120cos 30=60,而在COB中,BC=60t,OC=20,BOC=30;由余弦定理得BC2=OB2+OC2-2OBOCcosBOC,即(60t)2=+(20(t+2)2-26020(t+2),化简得8t2+5t-13=0,解得t=1或t=-(舍去).故t+2=3.即快艇驶离港口A后,最少经过3小时能和科考船相遇.
