1、专题一 压轴选择题第五关 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题【名师综述】近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理.平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.来源:学科网类型一 平面向量与解三角形的结合典例1 在中，、的对边分别为、，且，则的面积为（ ）A B C D 【答案】C【名师指点】由已知条件利用正弦定理将边转化为角，可得角B的大小，利用平
2、面向量数量积定义将向量式转化为三角形边角关系，进而利用三角形面积公式求出结果本题中向量的作用是利用定义转化为三角形边角关系，体现了向量的工具作用【举一反三】已知是内部一点，且则的面积为（ ）A B C D【答案】B【解析】由，知为的重心，则到的距离是到的距离的又由，得，则，所以，故选B类型二 向量与三角形”四心”的结合典例2 的外接圆的圆心为，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）A B C D【答案】A【名师指点】由已知条件，经过向量运算可判断点O是边BC中点，从而可判断三角形ABC是直角三角形，然后根据直角三角形知识及投影的概念可求，利用向量式判断外心是斜边中点是解题关键，体现了向
3、量作为工具的强大功能【举一反三】在中，角A，B，C所对的边分别为，且为此三角形的内心，则（ ）A4 B5 C6 D7【答案】C【解析】如下图所示，过作于，于，又为内心，故选C类型三 向量与三角函数的结合典例3 已知函数f（x）=Asin（x+）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（ ）A1 B C D2【答案】D来源:学科网【名师指点】本题借助向量考查三角函数，首先经过向量运用对所求向量式变形，得只需求BC长度即可，再利用三角函数知识求解，本题利用坐标法也可以，由三角函数图像可求得所求向量式中点的坐标，利用数量积的坐标运算求解【举一反三
4、】已知函数图像上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则（ ）A B C D【答案】D类型四 向量在解析几何中的应用典例4 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）A B C D【答案】A【解析】抛物线的焦点为F（0，4），准线为l：y=-4，设M（a，-4），由抛物线的定义可得【名师指点】对向量式的处理是高效解题的关键，向量是既有大小又有方向的量，所以向量具有数与形的双重作用，从数的角度来讲，利用向量式可以找到三点坐标的关系，从形的角度来讲，可以将向量式转化为线段长度的比例关系【举一反三】已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点， 在轴上方且在双
5、曲线上，则的最小值为（ ）A B C D【答案】A【精选名校模拟】1. 已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，b），若，则双曲线的离心率值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，又，则，所以有，即，从而解得，又，所以， 故选.2. 已知双曲线的方程，其左、右焦点分别是，已知点坐标为，双曲线上点，满足，则（ ）A-1 B1 C2 D4【答案】C3. 已知、是单位圆上互不相同的三个点,且满足，则的最小值是（ ）A B C D【答案】B【解析】根据题意，不妨设点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,其中，则所以=所以当时，有最小值 ,故选B.4. 已知的面积为1，为直角顶点设向
6、量，则的最大值为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】A5. 设直角的三个顶点都在单位圆上，点，则的最大值是（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意，当且仅当共线同向时，取等号，即取得最大值，最大值是，故选：C6.在直角中,P为AB边上的点,若,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据向量的加法可得, ,又因为,所以,所以 ，来源:学科网ZXXK则,因为,即该三角形为等腰直角三角形,所以根据内积的定义可得 ,则,故选B7. 如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】建立如图所求的直角坐标系，设，则，
7、 设，即，所以的方程为，的方程为，因为是内（含边界）的动点，则可行域为，由及，得，所以，代入可行域得，故选B8. 已知向量，则函数的最小正周期与最大值分别为（ ）A B C D【答案】B 来源:学*科*网9. 如图，已知圆，四边形ABCD为圆的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心转动时，的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为圆的半径为2，所以正方形的边长为.因为.所以.所以.故选B.10. 如图，在扇形中，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（ ）A B C DA 【答案】D11. 如下图所示，已知点是的重心，过点
8、作直线与，两边分别交于，两点，且，则的最小值为（ ）A2 B C D【答案】C【解析】,又因为共线，所以有，且，所以，当且仅当时取等号，故选C学科网12. 设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ）AB2CD【答案】D13. 已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么的最小值等于.( )AB C D【答案】D14. 已知向量满足 与的夹角为，则的最大值为（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】设；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立平面直角坐标系， 与的夹角为，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y），来源:学_科_网Z_X_X_K 即 表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离；圆心到B的距离为，的最大值为，故选：D15. 在ABC中，已知，M、N分别是BC边上的三等分点，则 的值是（ ）A5 B C 6 D 8 【答案】C